Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Данные уравнения в общем случае имеют вид

Данные уравнения в общем случае имеют вид

,

где - непрерывные функции.

Разделим уравнение на , получим

,

где .

Известны два метода решения этих уравнений.

1. Методзамены переменной.

Искомую функцию заменяют на произведение двух функций

,

где , - некоторые неизвестные дифференцируемые функции.

Подставим в уравнение, получим . Третье слагаемое сгруппируем с одним из первых слагаемых, либо с , либо с . Функции и входят в уравнение замены симметрично. Пусть объединим первое и третье слагаемые

.

Искомой является одна функция , а введены с помощью замены две , , поэтому одну из них, пусть , выберем по своему усмотрению так, чтобы равнялось нулю. Тогда уравнение распадется на два уравнения, каждое из которых с разделяющимися переменными,

Необходимо сначала решить первое уравнение, найти функцию . Затем подставить эту функцию во второе уравнение и решить его.

Решаем первое уравнение. При решении этого уравнения достаточно найти не общее решение, а одно какое-либо частное решение

Þ Þ .

Подставим найденную функцию во второе уравнение и решим его. Найдем функцию .

.

Затем записываем решение исходного уравнения как произведение функций .

.

Получена конечная формула для нахождения общего решения линейного уравнения. Однако, при решении примеров, обычно, используют замену и повторяют приведенные выше действия.

Пример 7.12. Решить уравнение .

Используем подстановку , получаем

Решаем первое уравнение системы

.

Решаем второе уравнение системы .

Þ .

Интеграл находим методом интегрирования по частям

Þ .

Находим общее решение исходного уравнения ;

.

2. Метод вариации произвольной постоянной.

Для нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения

сначала решают соответствующее однородное уравнение

.

Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим

Þ Þ

.

Далее, произвольную постоянную заменяют на функцию и ищут решение исходного неоднородного уравнения в виде

.

Теперь, чтобы получить решение уравнения, необходимо найти функцию . Найдем производную функции .

.

Подставим функцию и ее производную в исходное неоднородное уравнение .

.

Второе и третье слагаемые в левой части этого уравнения уничтожаются, получается дифференциальное уравнение относительно функции с разделяющимися переменными

.

Разделяем переменные и интегрируем

,

где С – произвольная постоянная.

Записываем решение исходного неоднородного уравнения

.

Пример 7.13. Найти общее решение уравнения .

Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим соответствующее исходному однородное уравнение

.

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде . Подставляем эту функцию в исходное уравнение

.

Получаем уравнение для нахождения

.

Решаем это уравнение

.

Находим

.

Записываем решение исходного уравнения

или

.