Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
(дифференциальные уравнения с однородными функциями)
Функция называется однородной n -го измерения, если , где t – параметр.
Например, для функции находим
.
Следовательно, эта функция второго измерения (n = 2).
Покажем, что частное двух однородных функций и одного и тоже измерения есть однородная функция нулевого измерения. Действительно,
.
Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида
,
где и - однородные функции одного измерения.
Данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение
.
Обозначим . Тогда уравнение примет имеет вид
,
где - однородная функция нулевого измерения, т. е.
.
Если принять параметр , то .
Уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
или ,
где u = u (x)- функция от x.
Найдем производную и подставим ее в уравнение, получим
.
Разделим переменные и проинтегрируем
Þ .
Решение уравнения сведено к нахождению интегралов. В результате интегрирования будет получен общий интеграл . Для нахождения общего интеграла исходного дифференциального уравнения необходимо сделать обратную замену переменной , в результате которой общий интеграл будет иметь вид
.
Пример 7.10. Решить уравнение ; при х = 1 y = 1.
Используем подстановку . Находим и подставляем в уравнение. Получаем
.
Сгруппируем отдельно слагаемые с и
.
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Выполним обратную подстановку , запишем общий интеграл
.
Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее начальным условиям .
.
Запишем частное решение
.
Пример 7.11. Решить уравнение ; при х = 1 .
Используем подстановку . Найдем . Подставим y и в уравнение, получим
.
В этом уравнении сгруппируем в одном слагаемом , а в другом все остальные слагаемые, получим
.
Учитываем, что , имеем
.
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Получаем
Þ .
Выполняем обратную замену переменной , получаем общий интеграл
.
Находим значение произвольной постоянной.
При получим Þ .
Записываем частное решение
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 159 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!