Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Пусть – ортонормированная система гильбертова пространства . Числа называют коэффициентами Фурье элемента , а ряд – рядом Фурье этого элемента. Пишут

, . (1)

Возьмём всевозможные линейные комбинации элементов системы . В результате получим некоторое множество пространства . При получим замкнутое подпространство, обозначим его .

Будем искать наилучший элемент приближения для среди элементов множества . Убедимся, что таким элементом является частичная сумма ряда Фурье, то есть

, .

Действительно,

. (2)

Из (2) видно, что

. (3)

Таким образом, точная нижняя грань достигается при , то есть элементом наилучшего приближения является частичная сумма ряда Фурье . Что и требовалось доказать.

Из (3) следует, что . Переходя к пределу, получим неравенство Бесселя

. (4)

Заметим, что числовой ряд сходится, так как его частичные суммы ограничены.

Теорема 1. Ряд Фурье (1) сходится по норме гильбертова пространства к элементу .

Доказательство. Убедимся, что последовательность частичных сумм ряда Фурье фундаментальная. Действительно, при имеем при как остаток сходящегося числового ряда (см. (4)). Это и означает фундаментальность последовательности . А поскольку пространство полное, то эта последовательность сходится. Теорема доказана.

Теорема 2. Если – ортонормированная система гильбертова пространства , то следующие утверждения эквивалентны: 1) , , (равенство Парсеваля; теорема Пифагора; замкнутость ортонормированной системы ); 2) , то есть ряд Фурье сходится к элементу ; 3) , то есть замыкание совпадает с ; 4) ортонормированная система полная, то есть является ортонормированным базисом пространства .

Доказательство. Доказательство проведём по схеме: из 1)→2)→3)→4)→1). Докажем, что из 1)→2). Рассмотрим тождество , верное для всякого и . Перейдём в этом тождестве к пределу. Получим

. (5)

Если справедливо 1), то из (5) следует , или . Что и требовалось доказать.

Докажем, что из 2)→3). Действительно, согласно 2) имеем , то есть . Обратное включение следует из способа построения пространства . Таким образом, . Что и требовалось доказать.

Докажем, что из 3)→4). По условию , поэтому из равенства и непрерывности скалярного произведения следует, что . Поскольку , то имеем , что возможно только при . То есть из равенства следует равенство . Это и означает полноту системы , так как её нельзя пополнить элементами , . Что и требовалось доказать.

Докажем, наконец, что из 4)→1), то есть , если система полная. От противного, пусть

. (6)

(Поскольку неравенство Бесселя (4) выполняется, то (6) – утверждение противное 1). Пусть – сумма ряда Фурье элемента . Используя непрерывность скалярного произведения, найдем

, (7)

то есть . Найдём коэффициенты ряда Фурье элемента .

. Тогда

. (8)

Так как система полная, то из (8) следует, что , то есть .А из (7) следует, что . Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Замечание. Поскольку утверждение 2) верное (см. теорему 1), то все утверждения теоремы 2 верные. При доказательстве утверждения из 4)→1) мы убедились, что равные в пространстве элементы имеют один и тот же ряд Фурье, то есть разложение в ряд Фурье единственное.