Полунормы и локально выпуклые топологические пространства

Из предыдущего параграфа ясно, что не всякую топологию в линейном пространстве можно задать с помощью нормы. Но в некоторых случаях её можно определить с помощью конечного или счётного числа норм. Такие пространства называют счётно-нормированными.

Пример 1. Пусть – линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций , . Очевидно, норма задаёт согласованную с алгебраическими операциями топологию только для непрерывных на отрезке функций. А норма определяет согласованную топологию только для производной . Тогда совокупность этих двух норм определит топологию для множества непрерывно дифференцируемых на отрезке функций.

Если – линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций, то топологию этого пространства можно определить счётным набором норм

, .

Замечание. Можно убедиться, что топологию счётно-нормированного пространства можно метризовать, то есть определить с помощью следующей метрики

,

где – счётный класс норм (см. §2 главы 3).

Важным для приложений классом пространств, топологию которых можно задать некоторым семейством полунорм, являются локально выпуклые пространства.

Определение 1. Отображение , где – векторное пространство над полем , называется полунормой, если выполняются следующие требования: 1) ; 2) ; 3) .

Следствие. Если – полунорма, то . Действительно, при . Следствие доказано.

Сравнивая определение 1 с определением нормы, видим, что при добавлении условия полунорма становится нормой. Очевидно, норма является полунормой, но не наоборот.

Определение 2. Топологическое векторное пространство называется локально выпуклым, если в нём существует база окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств.

Напомним понятие выпуклого множества.Множество , где – линейное пространство, называется выпуклым, если оно вместе с любой парой точек содержит и весь отрезок , соединяющий эти точки.

Очевидно, в обычном трёхмерном евклидовом пространстве шар, куб, тетраэдр – выпуклые множества.

Пример 2. В линейном пространстве непрерывных функций , выделим множество функций, удовлетворяющих условию . Докажем, что множество выпуклое. Действительно, пусть , , тогда

.

Итак, Что и требовалось доказать.

Легко убедиться, что пересечение выпуклых множеств – множество выпуклое, и что и – множества выпуклые, если выпуклое.

Определение 3. Множество , где – линейное пространство, называется абсолютно выпуклым, если из следует, что , , удовлетворяющих неравенству .

Очевидно, абсолютно выпуклое множество является выпуклым и уравновешенным (закруглённым). Справедливо и обратное утверждение: выпуклое уравновешенное множество является абсолютно выпуклым.

Определение 4. Множество называется поглощающим, если существует такое, что для всех таких, что .

Определение 5. Полунорму, заданную на вещественном линейном пространстве, называют выпуклым функционалом, если .

Теорема 1. Если – выпуклый функционал, то множество

(1)

выпуклое и поглощающее.

Доказательство. Докажем выпуклость множества (1), то есть если и , то для всех удовлетворяющих условию . Используя полуаддитивность и положительную однородность функционала, получим

.

Выпуклость доказана. Что множество (1) поглощающее, доказывается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Если в теореме 1 – полунорма, то множество (1) абсолютно выпуклое и поглощающее. При этом множество называют открытым квазишаром с центром в точке , радиус которого равен .

Теорема 2. Топологию локально выпуклого пространства можно задать при помощи некоторой системы полунорм . Если локально выпуклое пространство хаусдорфово, а система полунорм, задающая топологию, счётная, , то это пространство метризуемо и метрика определяется формулой (без доказательства).

Теорема 3. Функционал, определяемый формулой

, (2)

где – выпуклое поглощающее множество, является выпуклым. Если – поглощающее абсолютно выпуклое множество, то функционал является полунормой. Если множество открытое, то функционал непрерывный.

Доказательство. Докажем, что функционал (2) выпуклый, то есть согласно определениям 1 и 5 следует доказать положительную однородность, , , и полуаддитивность, . Заметим сначала, что тогда и только тогда, когда .С учётом этого замечания из (2) получим

,

то есть . Положительная однородность доказана.

Проверим теперь полуаддитивность функционала. Пусть и . Выберем числа , такие, что

, . (3)

Тогда и принадлежат поглощающему множеству . Поскольку оно выпуклое, то . Учитывая это, из (2) получим

.

В силу произвольности имеем . Полуаддитивность доказана. Первое утверждение теоремы доказано. Остальные утверждения теоремы примем без доказательства.

Функционал (2) называют функционалом Минковского. Если он определён на открытом множестве , то задаёт топологию, согласованную с алгебраическими операциями в линейном пространстве.