Задача о наилучшем приближении. Ортогональное дополнение

Пусть – произвольная точка трёхмерного евклидова пространства и пусть – плоскость, подпространство пространства . Поставим задачу о наилучшем приближении точки точками плоскости . Очевидно, наилучшим приближением будет точка – проекция точки на плоскость . Заметим, что .

Обобщим эту задачу на произвольное нормированное пространство. Пусть – некоторое нормированное пространство, а – некоторое замкнутое множество. Расстояние точки до множества определим равенством

. (1)

Число является характеристикой наилучшего приближения (аппроксимации) элемента элементами множества . Если существует элемент такой, что , то называется наилучшим элементом приближения элементами множества .

Пример. Пусть и – произвольная точка. Для точки найти элемент наилучшего приближения из множества – подпространства пространства .

Решение. Найдем расстояние от точки до множества .

при .

Итак, нашли бесконечное множество элементов , , наилучшего приближения для данного элемента .

Возникает вопрос о существовании и единственности элемента наилучшего приближения.

Лемма. Если – замкнутое множество гильбертова пространства и , то , если , и , если .

Доказательство. Если , то при из (1) получим , так как . Первая часть леммы доказана. Вторую часть леммы докажем от противного. Пусть , если . Из определения точной нижней грани множества неотрицательных чисел следует, что для любого найдётся , такое, что при , так как – замкнутое множество. Получили противоречие, так как по условию . Лемма доказана.

Теорема 1. Если – замкнутое выпуклое множество гильбертова пространства , а точка , то существует единственный элемент наилучшего приближения, то есть .

Доказательство. Согласно доказанной выше лемме

. (3)

Докажем сначала, что последовательность фундаментальная. Для этого воспользуемся равенством параллелограмма (см. §4)

.

Полагая в нём , , получим

. (4)

Поскольку , , а множество выпуклое, то . Тогда согласно (3) имеем , , . С учётом последних неравенств из (4) получим

при . при . Это и означает фундаментальность последовательности .

Поскольку гильбертово пространство полное, а множество замкнутое, то . Из (3) в пределе получим , , то есть существование элемента наилучшего приближения доказано.

Единственность докажем от противного. Пусть существует ещё один элемент наилучшего приближения , , . Полагая в , , получим

.

Поскольку , то имеем . Получили противоречие, что и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Следствие 1. Если , , , то (см. рисунок, аналогия с ).

Доказательство. По условию – элемент наилучшего приближения для . Пусть , , – произвольный элемент множества .

Тогда имеем

. (5)

Последнее неравенство справедливо при любых . Положив из (5) получим

, поскольку разность перпендикулярна любому вектору . Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Если – замкнутое подпространство гильбертова пространства , то любой элемент можно представить в виде

, , . (6)

Доказательство. Замкнутое линейное подпространство само является линейным пространством, поэтому оно выпуклое (если , так как пространство линейное). Тогда согласно теореме 1 существует единственный элемент наилучшего приближения. А согласно следствию 1 . Обозначая , получим . Что и требовалось доказать.

Элемент в (6) называют ортогональной проекцией элемента на подпространство .

Замечание. Представляя каждый элемент в виде (6), мы представим пространство в виде прямой суммы взаимно ортогональных множеств: , . Подпространство называют ортогональным дополнением пространства .

Теорема 2 (Пифагор). Если элемент представлен в виде (6), (), то , то есть справедлива теорема Пифагора.

Доказательство. Поскольку , , то имеем . По условию , поэтому последнее равенство запишется так: . Что и требовалось доказать.

Следствие 3. Если , , , то . Доказывается по индукции.