Понятие топологического векторного пространства

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть заданы множество произвольных элементов и поле , то есть множество действительных или комплексных чисел. Напомним, что множество называют векторным (линейным) пространством над полем , если в нём введены две операции – сложение элементов множества и умножение их на число: , , , .При этом введённые операции удовлетворяют восьми аксиомам:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Из аксиом 1–8 следует, что с элементами векторного пространства можно обращаться как с векторами пространства .

Замечание 1. Операции сложения и умножения на скаляр распространяют и на подмножества линейного пространства . Если , где – множество всех подмножеств множества , то , , то есть это совокупности всех элементов вида и . Отметим, что , и в общем случае .

Приведём примеры векторных пространств.

Пример 1. На множестве упорядоченных энок действительных чисел , введём алгебраические операции следующим образом:

, .

Легко проверить выполнение всех восьми аксиом. Следовательно, это пространство линейное.

Пример 2. На множестве числовых последовательностей , введём алгебраические операции, как в примере 1. Все восемь аксиом справедливы. Это пространство линейное.

Пример 3. Рассмотрим множество функций непрерывных на отрезке . Алгебраические операции введём естественным образом: , . Все восемь аксиом выполняются, это пространство является линейным.

Пример 4. Рассмотрим множество ограниченных на отрезке функций. Элементами этого множества будем считать классы функций эквивалентных между собой, то есть значения функций класса могут отличаться только на множестве меры нуль. Операции сложения и умножения на число определим как в предыдущем примере. Под нулевым элементом будем понимать класс функций, которые отличаются от нуля только на множестве меры нуль. Легко проверить, что все восемь аксиом выполняются. Это пространство является линейным.

Замечание 2. Если в рассмотренных выше линейных пространствах ввести метрики, как это было сделано в §2 главы 3, то получим линейные метрические пространства , , , , и .

Определение. Множество называется топологическим линейным пространством над полем , если: 1) множество является векторным пространством над полем ; 2) множество является топологическим пространством; 3) алгебраические операции непрерывны (согласованы) относительно заданной в топологии.

Поясним требование 3) определения. Алгебраическая операция сложения векторов, , – это отображение . Непрерывность операции сложения означает непрерывность отображения . А согласно определению непрерывности отображения (см. §5 главы 1) для всякой окрестности существуют окрестности и такие, что . Аналогично, непрерывность операции умножения на число, , , , означает, что . Поскольку окрестность числа , то непрерывность операции умножения на число означает, что существуют окрестность и число такие, что , удовлетворяющего условию .

Пусть – некоторая окрестность нуля и пусть – произвольная точка линейного топологического пространства . Тогда означает сдвиг окрестности на вектор , то есть – это окрестность точки . Отсюда следует, что топологическое линейное пространство полностью определяется базой окрестностей нуля.

Пример 5. Рассмотрим линейное пространство числовых последовательностей . Возьмём произвольный набор натуральных чисел и действительное число . Назовём окрестностью нуля – множество тех последовательностей, которые удовлетворяют условию , . Можно убедиться, что эта система окрестностей нуля является базой окрестностей и определяет топологию в этом пространстве, причём эта топология согласована с алгебраическими операциями, то есть алгебраические операции непрерывны в этой топологии. Действительно, пусть . Тогда и – такие окрестности, что , поскольку , то есть операция сложения непрерывная.

Аналогично, пусть . Возьмём

и . Очевидно, , так как .

Пример 6. Рассмотрим линейное множество непрерывных функций. В этом множестве введём дискретную топологию (см. §1 главы 2). Докажем, что дискретная топология не согласуется с умножением функции на число, то есть эта операция не является непрерывной в дискретной топологии. Действительно, возьмём конкретную функцию и конкретное число . Так как топология дискретная, то функция должна входить в эту топологию, поэтому в качестве окрестности выберем саму эту функцию, . Тогда , , , . Если операция умножения непрерывная, то , или . Но это условие не выполняется при любых . Получили противоречие. Что и требовалось доказать.

Отметим, что требование непрерывности алгебраических операций накладывает довольно жесткие ограничения на топологию.