Пространства со скалярным произведением. Гильбертово пространство

Напомним определение скалярного произведения в комплексном векторном пространстве.

Определение 1. Комплексное число называют скалярным произведением векторов и линейного над полем пространства , если оно удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам):

1) , ; 2) ; 3) ; 4) ; .

Следствие 1. . Действительно,

. Что и требовалось доказать.

Следствие 2. .

Действительно, .

Что и требовалось доказать.

Следствие 3.

. (1)

Действительно, используя аксиомы и следствия 1, 2, для всякого получим

.

Если , то имеем верное неравенство .

Если , то положив , получим

– опять верное неравенство, совпадающее с (1). Что и требовалось доказать.

Неравенство (1) называют неравенством Коши-Буняковского (см. §1 главы 3).

Определение 2. Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называют предгильбертовым, а вещественное пространство со скалярным произведением называют евклидовым.

Пример 1. В линейном пространстве последовательностей комплексных чисел , , скалярное произведение введём по формуле

. (2)

Если ряд (2) сходится, то аксиомы скалярного произведения очевидны. Убедимся, что он сходится. Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

.

Но ряды , сходятся по условию, поэтому ряд (2) сходится.

Пример 2. В линейном пространстве комплекснозначных непрерывных функций скалярное произведение введём по формуле . Все аксиомы скалярного произведения выполняются.

Теорема 1. Всякое предгильбертово пространство будет нормированным, если норму определить формулой

. (3)

Доказательство. Проверим выполнение требований нормы. Первое требование нормы – следствие первой аксиомы скалярного произведения. Однородность нормы следует из третьей аксиомы скалярного произведения и следствия 1. Действительно, . Что и требовалось доказать. Для доказательства полуаддитивности нормы воспользуемся неравенством Коши-Буняковского . Имеем . Что и требовалось доказать.

Предгильбертово пространство, в котором норма введена по формуле (3), называют унитарным. Поскольку унитарное пространство является и метрическим, и нормированным, то на него переносятся все свойства метрического нормированного пространств. При этом

. (4)

Отметим некоторые свойства унитарного пространства.

1. Алгебраические операции и скалярное произведение непрерывны. Действительно, алгебраические операции непрерывны, поскольку они непрерывны в нормированном пространстве (см. §3). А скалярное произведение непрерывно, так как непрерывна метрика (см. §8 главы 3).

2. В унитарном пространстве справедливо равенство параллелограмма, то есть

. (5)

Действительно, используя (3) и свойства скалярного произведения, имеем

.

Что и требовалось доказать.

3. Пополнение унитарного пространства само является унитарным пространством. Действительно, пусть – унитарное пространство, а – его пополнение. Тогда найдётся класс эквивалентных последовательностей такой, что , (см. §8 главы 3). Поскольку скалярное произведение и норма непрерывны в , то продолжим их по непрерывности в , то есть положим . Так как левые части последних равенств равны, то равны и правые части, то есть , или , что и означает унитарность пространства .

Определение 3. Полное относительно метрики (4) предгильбертово пространство называют гильбертовым и обозначают .

В §4 главы 3 мы убедились, что метрическое пространство полное. Поскольку в этом пространстве справедливо равенство (4), то это пространство полное евклидово (гильбертово).

Приведем ещё один пример гильбертова пространства.

Пример 3. Пространство со скалярным произведением (2) и нормой является гильбертовым. Действительно,

, то есть справедливы равенства (4). Следовательно, пространство унитарное, а так как оно полное по метрике (см. §2), то оно гильбертово.

Пример 4. Пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением и метрикой (4) является гильбертовым (см. Замечание в §4 главы 3).

Гильбертово пространство является естественным обобщением пространства евклидовой геометрии. В нём можно ввести, например, понятие перпендикулярности (ортогональности) векторов. Пусть – предгильбертово (гильбертово) пространство. Элементы называются ортогональными, если . Пишут . Если ортогонален каждому элементу множества , то его называют ортогональным множеству и пишут . Если все элементы множеств попарно ортогональны, то эти множества называют ортогональными, пишут .

Система элементов предгильбертова пространства называется ортогональной, если любые два различные элемента этой системы ортогональны. Если при этом норма каждого элемента равна единице, то систему называют ортонормированной.

Если в линейном нормированном пространстве существует независимых векторов, а вектор линейно зависимый, то пространство называют –мерным, пишут . Если для всякого существует линейно независимых векторов, то пространство называют бесконечномерным.

Теорема 2. Ортонормированная система , , линейно независимая.

Доказательство. От противного. Пусть система линейно зависимая, то есть , . Умножая это равенство скалярно на элемент , имеем . Получили противоречие, что и доказывает теорему.

Определение 4. Ортонормированная система называется полной, если из равенства следует , то есть её нельзя пополнить путём присоединения новых элементов из .

Это утверждение равносильно тому, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее полную систему , совпадает со всем пространством .

Определение 5. Полная ортонормированная система называется ортонормированным базисом пространства.

Приведём некоторые примеры.

Пример 5. В пространстве система векторов , – ортонормированный базис. Действительно, ортонормированность очевидна, а полнота следует из того, что любой элемент из можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, .

Пример 6. В пространстве (см. пример 1) система векторов , – ортонормированный базис. Ортонормированность очевидна. Убедимся в полноте. Пусть . Очевидно, (см. пример 4). Тогда при как остаток сходящегося ряда (см. пример 1). Таким образом, система полная, а пространство бесконечно мерное.

Пример 7. Пространство (см. пример 2). Среди различных базисов этого пространства важнейшим является тригонометрическая система

, .

Ортонормированность и полнота системы доказаны в курсе математического анализа.

Теорема 3 (об ортогонализации). Пусть – линейно независимая система элементов предгильбертова пространства . Тогда существует ортонормированная система такая, что

, , . (4)

Доказательство. Воспользуемся процессом ортогонализации Шмидта. Положим . Элемент , ортогональный элементу , будем искать в виде . Очевидно, , в противном случае имеем . , то есть – линейно–зависимые, что противоречит условию. Из условия ортогональности векторов найдём

.

Аналогично элемент ортогональный элементам и ищем в виде . Из условия ортогональности получим систему .

Пусть уже найдены. Тогда ищем в виде . Из условия ортогональности всем предшествующим найдём , . Согласно методу математической индукции мы построили систему ортогональных векторов. Разделив каждый вектор на его норму, получим ортонормированную систему векторов. Учитывая, что выражаются через , получим (4). Теорема доказана.

Теорема 4. Во всяком сепарабельном предгильбертовом пространстве существует ортонормированный базис из конечного или счётного числа элементов.

Доказательство. Пусть – счётное всюду плотное множество пространства . Выберем из него полную линейно независимую систему функций . Для этого достаточно из системы выбросить те элементы , которые можно представить в виде линейной комбинации некоторых предшествующих элементов. Оставшуюся линейно независимую систему согласно теореме 3 ортонормируем. В результате получим базис. Что и требовалось доказать.