Нормированные и топологические нормированные пространства

Напомним определение нормы.

Определение 1. Отображение , где – векторное пространство над полем , – множество действительных чисел, называется нормой, если выполняются следующие требования:

1) , причём ;

2) , – однородность нормы;

3) – полуаддитивность нормы.

Линейное пространство, в котором введена норма, называют нормированным.

Теорема 1. Всякое нормированное пространство является метрическим с расстоянием

. (1)

Доказательство. Проверим выполнение аксиом метрики. Первая аксиома метрики, , следует из (1) и первого требования определения нормы. Это очевидно. Вторая аксиома метрики, , следует из однородности нормы. Действительно, имеем

, то есть и вторая аксиома метрики выполняется. Аксиома треугольника следует из полуаддитивности нормы. Действительно,

.

Как видно, аксиома треугольника выполняется. Теорема доказана.

Итак, метрику всегда можно определить с помощью нормы по формуле (1), однако норму линейного метрического пространства определить через заданную метрику не всегда возможно.

Теорема 2. Если – линейное метрическое пространство, причём ,

, (2)

то норму можно определить формулой

. (3)

Без доказательства.

Легко проверить, что условия теоремы 2 выполняются для всех метрических пространств, рассмотренных в §2 главы 3, за исключением пространства . Поэтому для пространств , , , , имеем следующие соответствующие нормы:

, , , , . (4)

Найдём теперь расстояние от точки до нулевой точки в пространстве . , так как не выполняется свойство однородности нормы.

Так как согласно теореме 1 всякое нормированное пространство является метрическим, то на него переносятся все понятия и свойства линейного метрического пространства. В частности, если метрическое пространство полное, то и соответствующее нормированное пространство (норму которого определяет формула (3)) также полное. Полное нормированное пространство называют банаховым. Например, пространства , , , , , нормы которых определяются формулами (4), банаховы. Поскольку всякое метрическое пространство можно пополнить (см.§8 главы 3), то и всякое нормированное пространство можно пополнить. При этом алгебраические операции и норму можно продолжить на пополнение по непрерывности.

Теорема 3. Для того чтобы нормированное пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы из сходимости числового ряда следовала сходимость ряда , .

Доказательство. Пусть нормированное пространство является полным и числовой ряд сходится. Докажем, что ряд сходится, то есть сходится последовательность его частичных сумм . Убедимся сначала, что последовательность частичных сумм фундаментальная. Действительно, при

, (5)

где – частичная сумма числового ряда . Так как числовой ряд сходится, то – фундаментальная последовательность, то есть при . Тогда из (5) следует фундаментальность последовательности . А так как пространство полное, то последовательность сходится, то есть сходится ряд , . Необходимость доказана. Достаточность примем без доказательства.

Теорема 4. В нормированном пространстве алгебраические операции (сложение элементов и умножение элемента на число) и норма непрерывны.

Доказательство. Следует доказать: а) если и при , то ; б) если и при , то ; в) если при , то .

Доказательства всех трёх утверждений практически одинаковые. Поэтому докажем только одно, например, б). По определению при при , при . Тогда имеем при , поскольку сходящаяся числовая последовательность ограничена, а норма – некоторое число. Теорема доказана.

Следствие. Всякое нормированное пространство является топологическим векторным пространством.

Действительно, база топологии определяется системой окрестностей нуля, , а согласованность алгебраических операций с топологией следует из доказанной теоремы 3.

Определение 2. Множество линейного топологического пространства называют ограниченным, если существует число такое, что . Множество называют закруглённым (уравновешенным), если из следует .

Определение 3. Топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топологию можно задать с помощью нормы.

Как не всякое топологическое пространство можно метризовать (см. §3 главы 3), так и не всякое линейное топологическое пространство можно нормировать.

Теорема 5. Для того чтобы топологическое векторное пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости , было нормируемым, необходимо и достаточно, чтобы в нём существовала ограниченная закругленная окрестность нуля (без доказательства).