Фільтр нижніх частот Батерворта

Т.к. идеальная характеристика коэффициента передачи физически не реализуема, то одиним из возможных видов аппроксимации данного идеального фильтра является вариант коэффициента передачи , предложенный Батервортом.

где -нормированная частота.

Фильтры, использующие такой коэффициент передачи, называются фильтрами с максимально плоской вершиной или фильтрами Батерворта.

Число -является порядком фильтра.

В полосе пропускания фильтра, где характеристика должна плавно уменьшаться и на частоте и на частоте среза ослабление фильтром должно составлять не зависимо от порядка системы. Однако видно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее предложенный коэффициент перехода приближается к идеальной характеристике. Для дальнейшего синтеза фильтра необходимо перейти от коэффициента перехода к коэффициенту передачи системы в операторном виде.

Отсюда видно, что на комплексной плоскости функция , отвечающая ФНЧ с характеристикой Батерворта n-ого, имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения.

Важная особенность: Если порядок фильтра нечетное число, то первый корень т.е. показатель степени при решении уравнения равен нулю, если же -четное, то первый корень начинается с .

Примечание.

Рассчитаем аналоговый фильтр Батерворта для порядка фильтра . Тогда операторный коэффициент передачи будет.

Найдем корни уравнения, стоящего в знаменателе и рассмотрим их на комплексной плоскости.

Из рассмотренной комплексной плоскости видно, что полюса располагаются симметрично на комплексной окружности . Тогда, казалось бы, коэффициенты передачи можно записать.

Однако данное решение не целесообразно и по той же теореме Винера-Хинчена физически нереализуема. Для физической реализации ФНЧ берутся полюса левой полуплоскости. Таким образом, решением уравнения будут .

Найдем операторный коэффициент передачи физически реализуемого ФНЧ Батерворта аналогового типа.

Тогда.

Перейдем от нормированной лаплассовской частоты к ненормируемой. При этом полюса.

Тогда будет записана, как.

Операторный коэффициент передачи ФНЧ Батерворта второго порядка.

Построение АЧХ аналогового ФНЧ Батерворта второго порядка.

Для построения АЧХ перейдем от операторного коэффициента передачи к частотному .