Полумартингалы

2.1. Определение. Будем говорить, что процесс - мартингал, если выполняются условия: 1) , 2) Р - п. н., и .

Будем говорить, что - супермартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Процесс субмартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Множество случайных процессов, являющихся "суб", "супер", или просто мартингалами называется полумартингалами. Множество полумартингалов обозначим через .

Пример. Рассмотрим пуассоновский процесс . Из его определения следует, что для . Поэтому . Следовательно, пуассоновский процесс - субмартингал.

Ниже мы покажем, что если , то он допускает представление где - процесс имеющий ограниченную вариацию, а - мартингал.

2.2. Определение. Случайный процесс называется предсказуемым, если его траектории непрерывны слева, имеют предел справа и не имеют разрывов второго рода.

Теорема 5 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал относительно меры Р. Тогда существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что для любого Р - п. н.
где - мартингал.

(Без доказательства.)

Замечание. Если - супермартингал, то - субмартингал. Следовательно значит из где .

Пример. Пусть - пуассоновский процесс, тогда Р - п. н. для , где - мартингал относительно меры Р.

2.3. Определение. Мартингал относительно меры Р называется регулярным, если существует -измеримая случайная величина , такая, что Р - п. н. для .

2.3.1. Замечание. Очевидно, что регулярность мартингала относительно меры Р эквивалентна требованию равномерной интегрируемости семейства .

2.3.2. Теорема 6. Пусть регулярный мартингал относительно меры Р, а семейство непрерывно справа. Тогда у процесса существует модификация с траекториями непрерывными справа и имеющими левый предел.

Доказательство. Так как - регулярный мартингал, существует - измеримая интегрируемая случайная величина такая, что . Тогда для каждого имеем Р - п. н.
.
Поэтому, если положить , то получим непрерывную справа модификацию.

Покажем теперь, что существует левый предел. Действительно, если бы с положительной вероятностью этот предел не существовал, то тогда среднее число пересечений отрезка снизу вверх за время обозначаемое через было бы равно , но . Указанное противоречие довершает доказательство теоремы.

2.4. Приведем теперь условия существования непрерывной справа модификации у супермартингала.

Теорема 7. Пусть - непрерывно справа, а супермартингал относительно меры Р. Супермартингал имеет непрерывную справа модификацию тогда и только тогда, когда функция времени непрерывна справа.

Доказательство. В силу условий теоремы Р - п. н., а из того, что , имеем
Р - п. н. для .

Отметим Р - п. н. тогда и только тогда, когда .

Пусть . Так как равномерно интегрируемо, то . Стало быть, Р - п. н. тогда и только тогда, когда . Поскольку как функция убывает, то это равносильно ее непрерывности справа в точке .

Пусть - непрерывная справа модификация супермартингала . Тогда для каждого (как функция времени, в силу приведенных выше рассуждений) непрерывна справа. Обратно, если функция времени непрерывна справа, то процесс представляет собой непрерывную справа модификацию. Доказательство закончено.

2.5. В дальнейшем нам понадобится неравенство Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов.

Определение. Мартингал относительно меры Р назовем квадратично интегрируемым, если .

Теорема 8 (неравенство Колмогорова). Пусть – квадратично интегрируемый мартингал. Тогда для любого

.

Доказательство. Пусть , где . Очевидно, что и - марковские моменты, причем Р - п. н. Поэтому . Заметим теперь, что .
Поэтому в силу неравенства Чебышева, имеем .
Доказательство закончено.

2.6. Далее нам понадобится одно неравенство для квадратично интегрируемых мартингалов.

Теорема 9. Пусть квадратично интегрируемый мартингал относительно меры Р. Тогда

(3)

Доказательство. В силу теоремы 8 для , имеем

Поэтому

Отсюда в силу неравенства Коши - Буняковского, имеем

Стало быть отсюда следует утверждение теоремы.