Определите неподвижные точки системы уравнений Лоренца

Неподвижные точки. Найдем неподвижные точки системы уравнений Лоренца. Это состояния, не меняющиеся во времени, т. е. производные динамических переменных по времени надо приравнять нулю. Следовательно, правые части уравнений тоже должны обращаться в нуль. Это дает три алгебраических уравне­ния для трех неизвестных:

Из первого уравнения имеем у = х, тогда второе переписывается в виде х (г — 1 — z) = 0 и видно, что есть две возможности х = 0и z =z-1. Из третьего уравнения получаем для первого случая z = 0, а для второго , так что это решение существует лишь при r > 1. Таким образом, при r<1 имеется одно состояние равновесия, расположенное в начале координат, а при r > 1 – три состояния равновесия:

С точки зрения физической интерпретации, в задаче о конвек­ции первая неподвижная точка отвечает состоянию равновесия и отсутствию конвекционных потоков. Водяное колесо неподвижно, лазер не генерирует. Второе и третье решения соответствуют на­личию конвекционного потока — вращению жидкости, соответ­ственно, против или по часовой стрелке. Водяное колесо враща­ется в одну или другую сторону с постоянной скоростью. Лазер ге­нерирует сигнал постоянной, не зависящей от времени интенсив­ности. Заметим, что вторая и третья неподвижные точки уравне­ний Лоренца могут служить примером пары симметричных парт­неров — они переходят друг в друга при одновременном изменении знаков x и y.