Бифуркации в модели Лоренца

Если поддерживать постоянными параметры σ=10 и b=8/3 и увеличивать, начиная с нуля, параметр r (в модели МАТЛАБ r меняется от 0 до 15), то

Листинг 1

function f=sys_lorenz(t,y);

global b r s;

f=[s.*(y(2)-y(1));r*y(1)-y(2)-y(1).*y(3); -b.*y(3)+y(1).*y(2)];

Листинг 2

global b r s;

b=8/3;

s=10;

x0=[0.3 0.5 0.2];

for r=0:15;

[T,Y]=ode45('sys_lorenz',[0 15],x0);

plot3(Y(:,3),Y(:,1),Y(:,2));

hold on

end

При r<1 система Лоренца имеет устойчивую неподвижную точку в начале координат, тоску О. Это единственный аттрактор системы. При r>1, состояние равновесия О становится неустойчивым – одно из трёх собственных чисел оказывается положительным, тогда как два других остаются отрицательными. Если ввести малое возмущение, то изображающая точка будет уходить от состояния равновесия вдоль некоторой специальной траектории, которую называют неустойчивой сепаратрисой или неустойчивым многообразием. Имеется две ветви неустойчивой сепаратрисы, идущие от состояния равновесия О в разные стороны. Точка О имеет также устойчивое многообразие.