Принцип максимума

Функция u(x), гармоническая в области G, достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в G функции.

Лемма: пусть f(x) гармоническая фунцкия в области G, непрерывная в замыкании и x₀ – внутренняя точка области G, причем f(x₀) <0. Тогда решение уравнение Пуассона дельта u=-f не может достигать максимума в точке x₀

63. Интегральное представление гладких фенкций через их граничные значения

Теорема: пусть G ограниченная область в R с кусочно гладкой границей и u(x) функция класса С²(G) ∩ C²(). Тогда

Случай n>=3. Для любого x принадлежащего G имеет место формула:

где

Случай n=2. Для любого x принадлежащего G имеет место формула