Эллиптические уравнения

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Типичным и основным представителем указанного типа уравнений с частными производными является уравнение Пуассона

а также частный случай этого уравнения - уравнение Лапласа

Эти уравнения описывают состоянии различных физических систем, которые не изменяются с течением времени, и потому называются ста­ционарными состояниями.

51. Наиболее важными характеристиками потока, влияющими на характер движения среды, являются:
скорость потока;
плотность измеряемой среды;
вязкость измеряемой среды.

Плотность измеряемой среды определяют по измеренным давлению и температуре вещества с учетом влажности и сжимаемости.

Вязкостью (динамической) называют физическое свойство текучей среды, характеризующее внутреннее трение между ее слоями. Единицей измерения вязкости является Пуаз (П), вязкость маловязких жидкостей и газов измеряют в сотых долях Пуаза – сантипуазах (сП).

Наряду с динамической вязкостью используют величину, называемую кинематической вязкостью:

ν = µ/ρ,

где ν – кинематическая вязкость;
µ – вязкость.

Единицей измерения кинематической вязкости служит Стокс (Ст), на практике чаще используется его сотая часть – сантистокс (сСТ).
Скорость потока, вязкость и плотность жидкости определяют режим движения жидкости в трубопроводе. Исследование вопроса о механизме движения сред привело к заключению о существовании двух режимов движения жидкости:
ламинарный режим движения наблюдается при малых скоростях, когда отдельные слои среды движутся параллельно друг другу без перемешивания частиц;
турбулентный режим движения наблюдается при больших скоростях потока и характеризуется интенсивным перемешиванием частиц.

Критерием оценки обоих режимов является число Рейнольдса:

Re = (V • D • ρ)/µ = (V • D)/ν,

где Re – число Рейнольдса;
D – внутренний диаметр трубопровода.

Ламинарный режим движения наблюдается при Re < 2000, турбулентный режим движения устанавливается, как правило, при Re > 4000, хотя данное значение, в зависимости от условий движения потока, может оказаться большим. Режим движения при 2000 < Re < 4000 называется переходным, и в данном диапазоне чисел Re возможно как ламинарное, так и турбулентное движение потока. На практике, как правило, при движении жидкостей, газов и пара в трубопроводах реализуется турбулентный режим движения. Ламинарный же режим присутствует при малых скоростях потока или движении высоковязких жидкостей.

52. Приведите к каноническому виду уравнение с двумя независимыми переменными

Неограниченная струна. Задача Коши. Формула Даламбера.

Если струна очень длинная, то на колебания, возникающие где-то в ее середине, концы струны будут оказывать малое влияние.

Поэтому, рассматривая свободные колебания неограниченной струны, мы должны решить уравнение

(1)

только при начальных условиях

u(x,0)= φ(x) (2)

u’_j (x,0)= ψ(x) (3)

Такая задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Эту задачу удобно решить следующим образом. Введем новые переменные

, , (4)

тогда уравнение (1) перейдет в уравнение

(5)

Решением уравнения (5), очевидно, является функция

,

где и - произвольные функции, которые мы будем считать дважды дифференцируемыми.

Возвращаясь к старым переменным, получаем решение уравнения (1) в форме

. (6)

Непосредственным дифференцированием (6) легко убедиться, что это действительно так. Имеем

,

,

,

,

т. е.

.

Полученное решение (6), зависящее от двух произвольных функций, называется решением Даламбера.

Используя начальные условия, найдем функции и :

, (7)

. (8)

Интегрируя (8) на отрезке , получим

, (9)

где - произвольная постоянная. Из (7) и (9) находим

(10)

Теперь решение задачи Коши запишется

,

Или

. (11)

Формула (11) называется формулой Даламбера.