Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

В математике пределом последовательности называют объект,к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Определение. Число А называется пределом последовательности a₁, a₂, …, если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от А.

Обозначение:

Примеры. Вычислим пределы некоторых последовательностей.
1.

Ясно, что пределом этой последовательности будет число 0. Действительно, взяв произвольное число > 0, мы можем найти такой номер последовательности, после которого каждый член a_n будет меньше (т. е. ). Действительно, так что достаточно взять любое n, большее числа Итак,

2. при любом k > 0. Действительно, мы можем решить неравенство
Справа стоит вполне конкретное положительное число, которое указывает нам, с какого места число станет меньше наперед заданного числа > 0.

Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году,позже она была независимо получена Вейерштрассом.

Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема справедлива как для действительных, так и для комплексных чисел.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.