Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса



В математике пределом последовательности называют объект,к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Определение. Число А называется пределом последовательности a1, a2, …, если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от А.

Обозначение:

Примеры. Вычислим пределы некоторых последовательностей.
1.

Ясно, что пределом этой последовательности будет число 0. Действительно, взяв произвольное число > 0, мы можем найти такой номер последовательности, после которого каждый член an будет меньше (т. е. ). Действительно, так что достаточно взять любое n, большее числа Итак,

2. при любом k > 0. Действительно, мы можем решить неравенство
Справа стоит вполне конкретное положительное число, которое указывает нам, с какого места число станет меньше наперед заданного числа > 0.

Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году,позже она была независимо получена Вейерштрассом.

Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема справедлива как для действительных, так и для комплексных чисел.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.





Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 244 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...