 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Предел функции в точке
|
|
y f(x)
A + e
A
A - e
0 a - Daa + Dx
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 <ïx - aï<D
верно неравенство ïf(x) - Aï<e.
Запись предела функции в точке: 
2. Бесконечно малая функция в точке (на бесконечности).
Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой функцией в точке x=a (при x 
), если её предел в этой точке равен нулю: 
.
Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как и произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.
3. Бесконечно большая функция в точке (на бесконечности).
Определение: Функция 
называется бесконечно большой функцией в точке 
, если для любой сходящейся к а последовательности 
значений аргумента соответствующая последовательность 
значений функции является бесконечно большой.
Записывают это так: 
, 
, 
, 
.
Важно помнить, что не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.
4. Теоремы о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке.
Теорема 1: Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
Пример: Ясно, что при x→+∞ функция y = x2+ 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция 
– бесконечно малая при x→+∞, т.е. 
.
Теорема 2 (обратная): Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
5. Теоремы о пределах функции:о сумме; о произведении; о частном двух функции; о постоянном множителе).
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. 
, где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
Теорема 2. 
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3. 
Следствие. 
Теорема 4. 
при 
6. Правило раскрытия неопределенности типа 
.
Пример:
.
При вычислении предела неопределённости вида числитель и знаменатель дроби надоразделить на x в старшей степени.
7. Правило раскрытия неопределенности типа 
.
Пример:
..
При вычислении неопределённости вида нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить, затем подставить предельное значение аргумента и вычислить предел.
При раскрытии неопределённостей вида и можно использовать правило Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, пусть 
, причём 
в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения 
(конечный или бесконечный),то существует и предел 
, причём справедлива формула
.
Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если 
и 
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).
Замечание 2. Теоремаостаётся верной и в случае, когда 
.
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
Неопределённости вида 
Правило Лопиталя остаётся справедливым при замене условия 
на условие 
.
Пример 4. 
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 687 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
