Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n= {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
l	m	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

	A1x+ B1y+ C1z+ D1 = 0
A2x+ B2y+ C2z+ D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1	=	B1	=	C1	.
A2	B2	C2

20 вопрос: Смешанное произведение векторов и его свойство.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов. Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами.
• a· [b× c] = b· [c× a] = c· [a× b] = -a· [c× b] = -b· [a× c] = -c· [b× a]
• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти векторами компланарные.
  Пример1. Найти смешанное произведение векторов a= {1; 2; 3}, b= {1; 1; 1}, c= {1; 2; 1}.
  Решение:

a· [b× с] =				=

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

21 вопрос:
Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).
Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.
Если векторы и заданы своими координатами:

, ,
то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.
Угол между векторами

, ,
дается формулой , или в координатах

.
Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

.

22 вопрос: Обратная матрица, ранг матрицы, решение СЛАУ матричным методом.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если матрица имеет обратную, то и .

Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то . По , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

и

Следовательно, .

Пусть дана матрица размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .

Пример 14.9 Пусть .

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, , -- миноры первого порядка.
Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;

2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;

3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка:
строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;

2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A).
Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.
Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.
Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .
Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.
Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).
Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.
Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

И так далее.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n.
Пример.

Найдите ранг матрицы .