Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.
• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в . Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:^[14]

18 вопрос: Взаимные расположения прямой и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

рис.6.

рис.7 рис.8

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями

, ,

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

; (7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что вектроры и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.
Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.
Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.
Теорема доказана.
Прямая и плоскость в пространство могут:

• а) не иметь общих точек;
• б) иметь ровно одну общую точку;
• в) иметь хотя бы две общие точки.

На рис. 30 изображены все эти возможности.

В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .

19 вопрос: Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Различные формы уравнений прямой в пространстве.

Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно