Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:
в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :
(по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]
18 вопрос: Взаимные расположения прямой и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.
рис.6.
рис.7 рис.8
Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением
,
а прямая L задана каноническими уравнениями
или параметрическими уравнениями
, ,
в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –
координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:
1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений
; (7)
2) если и , то прямая лежит на плоскости;
3) если и , то прямая параллельна плоскости.
Доказательство. Условие говорит о том, что вектроры и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.
Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.
Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.
Теорема доказана.
Прямая и плоскость в пространство могут:
На рис. 30 изображены все эти возможности.
В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .
В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.
В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .
19 вопрос: Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Различные формы уравнений прямой в пространстве.
Уравнение плоскости в пространстве
Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:
ax + by + cz + d = 0. |
Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду
a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0. |
Уравнение
называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Нормаль к плоскости имеет координаты
Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется
Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 1444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!