![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x | + | y | + | z | = 1 |
a | b | c |
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем
Раскрыв определитель, имеем , т. е.
или
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на
плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).
Пусть ОК = p, а α, β, g — углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор
. При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора
на направление вектора
всегда равно р:
, т. е.
или
(12.8)
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e, уравнение (12.8) перепишем в виде
(12.9)
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.
5 вопрос: Скалярное произведение векторов. Его свойство. Приложение скалярного произведения векторов (работа, произведение одного вектора на другой, угол между векторами)
Скалярное произведение векторов и
будем обозначать как
. Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
, где
и
- длины векторов
и
соответственно, а
- угол между векторами
и
.
Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .
Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .
Определение.
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.
Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде
, где
- числовая проекция вектора
на направление вектора
, а
- числовая проекция вектора
на направление вектора
.
Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.
Определение.
Скалярным произведением двух векторов и
называется произведение длины вектора
на числовую проекцию вектора
на направление вектора
или произведение длины вектора
на числовую проекцию вектора
на направление вектора
.
6.2. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Решение:
5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^ b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab =0 и а¹ 0¹b, то а ^ b
.
6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2.
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(- 3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC ^ BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=(bх; bу; bг):
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!