Односторонние пределы. Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого

Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х ₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х ₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x ₀ - δ < x < x ₀): | f (x) – A | < ε.

Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х ₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х ₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x ₀< x < x ₀+ δ): | f (x) – В | < ε

Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

и

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х ₀ конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,

( ε > 0) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0) ( x ₀– δ₁ < x < x ₀): | f (x) – A | < ε.

( ε > 0) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0) ( x ₀< x < x ₀+ δ₂): | f (x) – A |<ε

Возьмем δ = min{δ₁,δ₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х ₀ | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х ₀| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х ₀– δ < х < х ₀, так и для х ₀ < x < х ₀ + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что

3 вопрос: Расстояние от точки до плоскости, угол между плоскостями.
Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми

l

₁ и

l

₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.
Если заданы уравнения плоскостей A₁
x+ B₁y+ C₁z+ D₁ = 0 и A₂x+ B₂y+ C₂z+ D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

4 вопрос: Уравнение плоскости в пространстве (общее, через 3 точки, в отрезках, на осях, нормальное)

Определение. Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.