![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a. Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство, а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x. Примеры.
1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+ 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е.
.
2. .
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1 /f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
1. .
2. .
3. , так как функции
и
- бесконечно малые при x→+∞, то
, как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же
является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 204 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!