Доказательство. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b]

Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b]. Допустим, что она не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда $ e > 0 - такое, что " d > 0 $ x ' и x '' Î [a, b], ½ x ''- x '½ < d, но ½ f (x '') - f (x ')½ ³ e. Возьмем какую-нибудь последовательность {d_n} ® +0 (d_n > 0).

В силу нашего предположения, " d_n $ x _n' и x _n'' Î [a, b],

½ x _n''- x _n'½ < d, (1)

½ f (x _n'') - f (x _n')½ ³ e. (2)

Рассмотрим последовательность { x _n'}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть ® с Î [a, b]. Потому f (x) непрерывна в точке c. В силу (1) подпоследовательность ® с, а так как f (x) непрерывна в точке c, то ® f (c) - f (c) = 0. С другой стороны, в силу неравенства (2) ³ e > 0. Полученное доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) равномерно непрерывна на [a, b].