Ограниченность непрерывной на сегменте функции (1-ая теорема Вейрштрасса)

Теорема 7.2. (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство.

(здесь рисунок)

Допустим, что f (x) не ограничена на этом сегменте, то есть " натурального n $ x _n Î [ a, b ]:

½ f (x _n) ½> n. (1)

Рассмотрим последовательность { x _n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть ® c. Так как все Î [ a, b ], то и c Î [ a, b ], значит, f (x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому ® f (с). С другой стороны, в силу (1) > k _n, и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) ограничена на [ a, b ].

Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема 7.2 неверна.

Например, f (x) = на интервале 0 < x < 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f (x) огр. на множестве X. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f (x) = M, f (x) = m.

Если в каких-то точках f (x) принимает значения M и m, то говорят, что функция достигает на множестве X своих точных граней.

Пример. y = , X = {0 < x £ 1}. (здесь рисунок)

f (x) = 1, f (x) = 0, но f (x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперь f (x) непрерывна на [ a, b ], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f (x) = M, f (x) = m.

22. Достижение точных граней непрерывной на сегменте функцией (2-ая теорема Вейерштрасса).

Теорема 7.3. (вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f (x), непрерывная на сегменте [ a, b ], не принимает ни в одной точке значения

M = f (x), тогда " x Î [ a, b ]: f (x) < M.

Введем функцию: F (x) = > 0 и непрерывна на [ a, b ]. По теореме 7.2, $ A > 0, " x Î[ a, b ]: F (x) = £ A. " x Î [ a, b ]: f (x) £ M - < M.

Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [ a, b ]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [ a, b ] своей точной верхней грани.