Теорема доказана. Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Пусть x – время, y = f (x) – координата точки, движущейся по оси y в момент времени x. = v _ср – средняя скорость точки в промежутке [ a, b ]. f’ (c) – мгновенная скорость в момент c. Теорема Лагранжа показывает, что найдется такой момент c, что мгновенная скорость будет равна средней скорости.

//Замечание.

(здесь рисунок)

Зафиксируем x = x ₀ Î [ a, b ]. Дадим этой точке приращение D x. Применим формулу Лагранжа к сегменту [ x ₀, x ₀+D x ].

= f’ (x)D x.

x - x ₀ = q D x (0 < q <1), и поэтому x = x ₀ + q D x.

= f’ (x ₀ + q D x)D x – формула конечных приращений. Отметим, что главная часть приращения (дифференциал функции в точке x ₀) выражается формулой: = f’ (x ₀)D x.

Некоторые теоремы, доказывающиеся с помощью теоремы Лагранжа.

Теорема7.9 Если f (x) дифференцируема на пром-ке X и " x Î X: f’ (x) = 0, то f (x) = const на X.