Доказательство. 1. Достаточность. Пусть f ’(x) ³ 0 " x Î X

1. Достаточность. Пусть f ’(x) ³ 0 " x Î X. Возьмем " x ₁ и x ₂ Î X, x ₂ > x ₁.

По формуле Лагранжа, f (x ₂) - f (x ₁) = ³ 0.

f (x ₂) ³ f (x ₁) при x ₂ > x ₁, а это и означает, что f (x) не убывает на промежутке X.

Достаточность доказана.

2. Необходимость. Пусть f (x) не убывает на промежутке X, то есть

f (x ₂) ³ f (x ₁) при x ₂ > x ₁. (1)

Докажем, что f ’(x) ³ 0 " x Î X. Допустим, что в какой-то точке c: f ’ (c) > 0. Тогда, по теореме 7.5 (Теорема 7.5. Если f(x) дифференцируема в точке c и f'(c) > 0 (< 0), то f(x) возрастает (убывает) в точке c), f (x) убывает в точке c и, следовательно, найдется такая окрестность точки c, где f (x) < f (c) при x > c, но это противоречит условию (1). Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f ’(x) ³ 0 " x Î X.

Необходимость и вся теорема доказана.

(здесь рисунок)

Утверждение 1. Из возрастания функции в точке не следует ее возрастание в какой-нибудь окрестности этой точки.

Пример.

f (x) = . f ’(x) = .

f ’(0) = 1 > 0.

Следовательно, по теореме 7.5 данная функция возрастает в точке x = 0, вместе с тем, она не является возрастающей ни в какой окрестности точки x = 0. Рассмотрим произвольную e-окрестность точки 0.

(здесь рисунок)

Если бы функция возрастала в этой e-окрестности, то по теореме 7.10 выполнялось бы неравенство: f ’(x) ³ 0 " x Î (-e, e). Но это неравенство, очевидно, не выполнено: в любой e-окрестности точки x = 0 имеются точки, в которых f ’(x) > 0 и f ’(x) < 0.