Критерий Коши существования предела функции в точке

Определение: Пусть a - предельная точка области определения f (x). Говорят, что функция f (x) удовл. в точке a условию Коши, если " e > 0 $ d > 0, " x ' и x '', 0 <½ x ' - a ½ < d, 0 <½ x ''- a ½ < d:

½ f (x ') - f (x '')½ < e.

Условие Коши для функции аналогично условию фундаментальности последовательности.

Теорема 6.6. (Критерий Коши) Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Доказательство.

Необходимость. Дано: $ f (x) = b. Требуется доказать: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Зададим произвольное e > 0. Согласно определению предела функции по Коши,

$ d > 0, " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d}, ½ f (x ') - b ½ < , и

$ d > 0, " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}, ½ f (x '') - b ½ < .

Отсюда следует, что " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d} и " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}: ½ f (x ') - f (x '')½ =

= ½(f (x ') - b) - (f (x '') - b)½£ + < e. А это и означает, что f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши.