Теорема доказана. //Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

//Замечание 2. Если f (x) достигает на множестве X своей точной верхней грани, то она имеет на этом множестве максимальное значение, то есть f (x) = f (x), в противном случае функция не имеет на множестве X максимального значения. То же самое отн. к min и inf. Из теоремы 7.3 следует, что если f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ], то она имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Ограниченная, но разрывная на сегменте функция может не иметь на этом сегменте минимального и максимального значения.

Пример. (здесь рисунок)

f (x) = . f (x) =1, минимального значения нет.

23. Теорема Кантора.

Непрерывность f (x) в точке x ' означает, что " e > 0 $ d > 0, " x '', : < e.

Определение. Функция f (x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если " e > 0 $ d > 0, " x ' и x ''Î X, : < e.

//Замечание. Из определения следует, что, во-первых, равномерная непрерывность – свойство функции на множестве, в отличие от обычной непрерывности – свойства функции в точке. И во-вторых, отличие равномерной непрерывности от обычной непрерывности на множестве состоит в том, что при обычной непрерывности функции на множестве X (то есть при непрерывности в каждой точке) " x ’Î X по заданному e найдется нужное d (то есть такое d, что из (1) следует (2)), так что d = d(e, x ’), а при равномерной непрерывности по заданному e найдется нужное d, общее для всех x ’Î X.

Примеры.

f (x) = x равномерно непрерывна на (- ¥, ¥).

В самом деле, " e > 0 возьмем d = e (тем самым d зависит только от e и не зависит от x).

Если ½ x ''- x '½ < d = e, то ½ f (x '')- f (x ')½= ½ x ''- x '½< e, а это и означает по определению, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой.

f (x) = на X = {0 < x £ 1}.

Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является равномерно непрерывной.

(здесь рисунок)

В самом деле, возьмем e = 1 и возьмем x ' = , x '' = . Тогда " d > 0 $ N: ½ x ' - x ''½ < d, но при этом ½ f (x ') - f (x '')½ = ½ n - (n + 2)½ = 2 > e = 1. Тем самым, для указанного e не найдется нужного d. Это и означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на [0, 1].

Теорема 7.4 (Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.