Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям.

Теорема 5.3. Пусть u (x) и v (x) определены и дифференцируемы на промежутке X, и пусть функция u (x) и v' (x) имеет первообразную на промежутке Х, то есть существует . Тогда u (x) v' (x) также имеет первообразную на промежутке Х, и спараведлива формула:

= u (x) v (x) - - формула интегрирования по частям.

Доказательство: Воспользуемся формулой: (uv)' = u'v + uv ', vu' = (uv)' - uv '. uv ' имеет первообразную по условию теоремы. (uv)' имеет первообразную uv. Следовательно и vu' имеет первообразную и справедливо равенство: = uv - .