Теорема Больцано-Вейрштрасса

Теорема 6.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Пусть { x _n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [ a, b ].

a £ x _n £ b (" n).

(здесь рисунок)

Разделим сегмент [ a, b ] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [ a, b ] лежит бесконечно много членов последовательности { x _n}, обозначим эту половину через [ a ₁ , b ₁]. Возьмем какой-нибудь : a ₁ £ £ b ₁. Далее разделим сегмент [ a ₁ , b ₁] пополам и обозначим через [ a ₂ , b ₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности { x _n}. Выберем Î [ a ₂ , b ₂], k ₂ > k ₁. a ₂ £ £ b ₂. Затем разделим сегмент [ a ₂ , b ₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [ a ₁ , b ₁], [ a ₂ , b ₂], …, [ a _n, b _n], … (так как b _n- a _n = ® 0 при n ® ¥), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности { x _n}.

" n: a _n £ £ b _n. (1)

По теореме 6.1 (Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы) $ точка с: lim a _n = lim b _n = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что ® c при n ® ¥. Таким образом, мы выделили из последовательности { x _n} сходящуюся подпоследовательность.