Верное доказательство

Введём функцию f (x) = (x ³ 1).

При n £ x < n + 1: f (x) = , поэтому f (x) = e.

Воспользуемся неравенствами: [ x ] £ x < [ x +1] = [ x ] + 1. Отсюда при x ³ 1 имеем:

< £ а, следовательно, 1 + < 1+ £ 1 + .

Поэтому

£ £ или

.

Отсюда следует, что = е.

Положим у = . Тогда y ® +0, если х ® +¥ и мы получаем,

что (1 + у)^{1/ у} = е или

(1 + х)^{1/ х} = е. (1)

Рассмотрим теперь (1 + х)^{1/ х} . Положим у = - х. Тогда y ® +0, если х ® -0.

(1 + х)^{1/ х} = (1 - у)^{-1/ у} = = .

Положим = z. Тогда z ® +0, если y ® +0 и y = , = +1.

Таким образом, (1 + х)^{1/ х} = =(1 + z)^{1/ z +1}. Если х ® -0, то z ® +0, поэтому

(1 + z)^{1/ z +1}= ® e.

Итак, (1 + х)^{1/ х} = е. (2)

Из (1) и (2) следует, что (1 + х)^{1/ х} = е.