Производная сложной функции. Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = j(x), то есть y = f(j(x)) º F(x)

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = j(x), то есть y = f(j(x)) º F(x).

Теорема 4.4. Пусть функция t = j(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = j(х₀). Тогда сложная функция F(x) = f(j(x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)×j'(х₀) = f'(j(х₀))×j'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f(j(x)) в точке х₀ можно представить в виде: Dy = f'(t₀)j'(х₀)Dx + a(Dx)Dx, (1), где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0. a(0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное Dx. Тогда функция t = j(x) получит приращение Dt = j(х₀ + Dх) - j(х₀). Так как t = j(x) дифференцируема в точке х₀ +, то Dt можно представить в виде: Dt = j'(х₀)Dx + b(Dx)Dx. (2), где b(Dx) ® 0 при Dx ® 0. b(0) = 0. Приращению Dt соответствует приращение Dy = f(t₀+Dt) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то Dy можно представить в виде:

Dy = f'(t₀) Dt + g(Dt)Dt. (2), где g(Dt) ® 0 при Dt ® 0. g(0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим:

Dy = f'(t₀ )(j'(х₀)Dx + [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)]Dx, где [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)] Û a(Dx).

Очевидно, что a(Dx) ® 0 при Dх ® 0, Dх ® 0.

Тем самым доказано равенство (1), и, значит, теорема 4.4 доказана.

Примеры:

y = x^a (a - любое вещественное число, x > 0). x^a = e^{aln x} = e^a , где t = a ln x (a ln x Û j(x))

По теореме 4.4 получаем:

(x^a)' =(e^a)'(a ln x)'= (e^a)a = ax^a-1. (e^a=х^a),a = х). (x^a)' = ax^a-1.

В частности, если a = ,()'= x^-1/2= . Если a = -1, то = -1x^-2 = - .

Из правил и формул дифференцирования следует, что производная любой элементарной функции снова есть элементарная функция. Иными словами, класс элементарных функций замкнут относительно операции дифференцирования.

y = arccos (arctg e^x)

y' = (-sin (arctg e^x)) e^x = -tg(arctg e^x) =- .

y =[u(x)]^v(x). y =e^vlnu. y = u(x^v)' = e^vlnu.(v ln u)' = u^v(v'ln u + v u') = u^vln u v' + vu^v-1u'

(u^v)' = (u^v)' + (u^v)'