Теорема доказана. при х ® 0, и ,следовательно sin

Следствие 1.

sin x = x + о(х) при х ® 0. В самом деле, так как = 1, то sin x ~ x

при х ® 0, и,следовательно sin x - x = o(x), откуда sin x = x + о(х) при х ® 0:

(рисунок)

Следствие 2.

cos x = 1 - + o(x ²) при х ® 0.

Доказательство:

= = = 1. Отсюда следует, что

1 - cos ~ при х ® 0, поэтому 1 - cos x - = o(x ²) при х ® 0, или

cos x = 1 - + o(x ²) при х ® 0.

Следствие 3.

tg x = x + o(x) при х ® 0.

Примеры:

1) = = =12.

2) ;

1) первая попытка:

= = - чему равен предел этой дроби, сказать нельзя.

2) вторая попытка:

.

7. Доказать, что (1 + х)^{1/ х} = е. (второй замечательный предел.

(1 + х)^{1/ х} = е. (это неопределённость типа 1^¥).

Доказательство:

По определению, е = .

Неверное доказательство теоремы:

Положим = х, тогда = (1 + х)^{1/ х} , и x ® 0 при n ® ¥.

Поэтому (1 + х)^{1/ х} ® e при х ® ¥.

Это доказательство неверно, так как здесь x ® 0 определённым способом

(x = , где n - натуральное число), а нужно рассматривать произвольное стремление x к нулю.