Теорема 3.4

Если f (x) непрерывна на [ a, b ] и f (а) f (b) < 0, то $ c Î [ a, b ]: f (c) = 0.

Доказательство:

Пусть для определённости f (а) < 0, f (b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f (x) < 0.

(рисунок)

Рассмотрим множество Х таких точек Î[ a, b ], что f (x) < 0 на [ a, ).

X ={ : Î[ a, b ], f (x) < 0 на [ a, )}.

Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань:

с º sup X. Отметим, что " x < c: f (x) < 0. (1)

Докажем, что f (с) = 0.

Допустим, что это не так.

Предположим, что f (с) > 0. Тогда Þ f (x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно, (рисунок)

$ x < c: f (x) > 0, что противоречит (1).

Предположим, что f (с) < 0. Тогда f (x) < 0 в некоторой окрестности точки с.

(рисунок)

Следовательно, $ > c: f (x) < 0 на [ a, ), а это противоречит тому, что c = sup X.

Значит, наше предположение неверно, и f (c) = 0.