Гипербола, её свойства и изображение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно 2а.

Каноническое уравнение гиперболы:

Свойства гиперболы и её элементов:

- эксцентриситет -мера вытянутости гиперболы

• Частный случай гиперболы - равносторонняя

гипербола; при этом угол α равен 90º.

• Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояния

от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до

директрисы есть величина постоянная.

• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно

действительной и мнимой осей, а также вращательной

симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

• Зеркальное свойство: касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания, т.е. луч света, выпущенный из фокуса гиперболы, после отражения от зеркала гиперболы, кажется наблюдателю идущим из другого фокуса гиперболы.

№ 25. Парабола, её свойства и изображение.

Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых

до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой

директрисой, равны.

Каноническое уравнение параболы:

Свойства: • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяетмасштаб.

• Ось параболы также является осью её симметрии. • Зеркальное свойство №1: пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. • Зеркальное свойство №2: касательная к параболе в каждой точке М составляет равные углы с фокальным радиусом точки M и с осью параболы.