Элементом матрицы (i и j)называется число расположенное на пересечении итой строки и джитого столбца матрицы Операции над матрицами

А.Сложение матриц Это сумма матриц А и В одинакового размера MxN, называется квадратные матрицы MxN, которые определяются по формуле Сij=Aij+Bij

Б. умножение матриц Произведение матрицы А размера М и Х называется матрица В размерами М и Х, такая что Вij=P*aij, где Р это любое число.

5* =

В. Вычитание матриц Разность А-В матриц элементами ij одинакового размера M и X называется матрица С размерами М и Х такая что Cij=Aij-Bij

=

Г. Произведение матриц Необходимое условие: количество столбцов матрица А равно количеству строк матрицы В. Произведение матрицы А размерами М х К на матрицу В размерами К и N называется матрица С размерами М и К. такая что Cij=Ai1*B1j+Ai2*B2j+Ai3*B3j…+Aik*Bkj

A*B=

B*A=

Свойства

1.) Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

2.) Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A

3.) Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

4.) Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

5.) Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

6.) Коммутативность сложения: A + B = B + A.

7.) Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

8.) Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA.

9.) Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A (AB)^T = B^TA^T (A − 1)^T = (A^T) − 1, если обратная матрица A - 1 существует. (A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

10.) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными

11.)Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB).

№ 5. Квадратная матрица. Треугольная, диагональная, единичная матрицы. Степень квадратной матрицы. Матричный многочлен.

Квадратной матрицей называется матрица у которой количество строк совпадает с количеством строк.

Порядок квадратной матрицей называется количество её строк.

Диагональю квадратной матрицы порядка n называется совокупность её элементов aii где i=j

Побочной диагональю матрицы называется (a(n,1), a(n-1,2), …, a(1, n))

Диагональная матрица называется квадратные матрицы у которой все элементы расположенные в не главной диагонали равны нулю

Единичная матрица называется диагональная матрица у которой все элементы главной диагонали равны 1 и обозначается Е. Пусть М принадлежит N и М не равно 1. М - ой степенью матрица А называют М – кратное произведение этой матрица А^М=А₁*А₂*…*А_М.

Свойства 1. A^m=A^m-1*A=A*A^m-1 2. A^m*A^k=A^k*A^m=A^k+m 3.

Матричный многочлен Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁­x^n-1+…+a_n-1x+a_nA – квадратная матрица порядка М F(a)= a₀Aⁿ+a₁­A^n-1+…+a_n-1A+a_nEГде Е единичная матрица порядка МНазывается матричный многочлен степени М

Для любой квадратной матрицы А определено произведение А*А. Назовем произведение А*А квадратом матрицы А: A2 = A*A. Произведение A*Ar-1 для любого целого положительного числа r называется r-й степенью матрицы А. Т.е. Ar=A*Ar-1. Обозначаем Ar.

№ 6. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

Определителем квадратной матрицы А порядка n называется алгебраическая сумма n! произведения вида (-1)^n(a) a1j₁ a2j_{2 …}anj_{n ­} в каждом из которых содержится по 1 – ому элементу из каждой строки и каждого столбца.

Вычисление по любой строке и любому столбцу

Вычисление треугольником

Правилом дополнения

№ 7. Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами,

причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки

определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то

определитель может быть представлен в виде суммы двух

определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и теже.

8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

9. Определительравен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

№ 8.Общие способы вычисления определителей.

1.Приведение к треугольному виду.

2.Разложение определителя по строке.

3.Разложение определителя по столбцу.

4.Представление определителя в виде суммы определителей.

5.Метод рекуррентных соотношений.

6.Теорема Лапласа.

№ 9. Ранг матрицы, его свойства. Методы нахождения ранга матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Ранг матрицы - наибольший из порядков ее миноров не равных нулю. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rang А, r. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

1.Ранг матрицы определяется целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m, n.

2.Ранг матрицы равен нулю, если матрица нулевая.

3.Для квадратной матрицы n-го порядка r = п тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,...,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

Методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к такому виду, когда каждый ее столбец (строка) будет состоять только из нулей или нулей и одной единицы. В этом случае число единиц определяет ранг исходной матрицы.

2. С помощью элементарных преобразований исходную матрицу можно свести к треугольной. Если при этом на главной (побочной) диагонали полученной матрицы нет нулевых элементов, то ее определитель отличен от нуля.

3. Метод окаймляющих миноров. Минор M порядка k + 1, содержащий минор M порядка k, называется окаймляющим минор M . Если у матрицы Асуществует минор M , а все окаймляющие его миноры M , то r(A) k.

№ 10.Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.

Квадратная матрица B порядка n называется матрицей, обратной и квадратной матрицы А порядка n, если AB=BA=E. B=A^-1-матрица обратная матрицы A.

Свойства обратной матрицы:

1. AA^-1=E; A^-1A=E. 2. (A^-1)^-1=A 3. (AB)^-1=B^-1*A^-1 4. (A^T)^-1=(A^-1)^T

Теорема: Любая невыраженная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Замечание: Для выраженной матрицы обратная матрица не существует.

Теорема о существовании обратной матрицы: Пусть А - квадратная матрица. Если её определитель не равен 0, то можно по формулам Крамера найти матрицу В, такую что АВ=ВА=Е, где Е - единичная матрица. Таким образом, если опред. А не равен 0, то обр. матрица В существует. Обратно, если В существует, то её определитель не равен 0. иначе опред. Е был бы 0, а он равен 1.
Теперь о единственности обратной матрицы: Пусть АВ=ВА=Е, и пусть также АС=СА=Е, т.е. имеется две обратные матрицы В и С. Умножим АВ=Е на С слева, получим САВ=С, но СА=Е, и получаем В=С, что и требовалось.

Методы нахождения обратной.

1. Метод присоединенной матрицы (формула Крамера).

2. Метод элементарных преобразований над строками (Метод Гауса).

№ 11. Собственные значения матрицы. Собственные и присоединённые векторы матрицы.

Есть матрица

|a11 a12 a13| А= |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|

|(a11-k) a12 a13 | A =| a21 (a22-k) a23 |=0 | a31 a32 (a33-k)|

det(A-kE)=0, где E-единичная матрица.

Определение 1. Комплексное число Al называется собственным значением квадратной матрицы А если матричные уравнения Ax=Al и имеет ненулевое решение.

Основная теорема алгебры. На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение степени n с учётом кратности имеет ровно n корней.

Определение 2. Алгебраической кратностью собственного значения al=al₀ матрицы А называется кратность корня al₀ характеристического уравнения det(A-alE)=0.

Определение 3. Спектром матрицы назевается множество всех собственных значений этой матрицы.

Определений 4. Собственным вектором квадратной матрицы А, отвечающим собственным значениям al, называется ненулевое решение матричного уравнения Ax=al, где x – столбцовая матрица.

Собственные вектора квадратной матрицы отвечающие различным её собственным значениям называемых линейным. Каждому собственному значению лямбда матрицы А отвечает m=n-rang(A-גE) линейно не зависимых собственных векторов. Геометрическая кратность собственного значения лямбда квадратной матрицы А называется количество линейно не зависимых собственных векторов этой матрицы отвечают их собственному значению Лямбда.

Определение 5. Столбцовая матрицы ф^К – называется присоединенным вектором порядка К отвечающим собственному значение al и собственному вектору Ф матрицы А, если

(A-alE)Ф(1)=Ф

(A-alE)Ф(2)=Ф(1)

(A-alE)Ф(K)=Ф(K-1)

(A-alE)Ф®=Ф(r-1)

№ 12. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация.

Определение 1. Комплексные числа называются упорядочная пара действительных чисел X и Y. Обозначается комплексное число Z=(x,y) где x,y принадлежат R.