Линейные пространства

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ

Линейные пространства

Непустое множество L элементов произвольной природы называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

I. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент ,называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем выполняются следующие свойства

1) x + y = y + x [коммутативность];

2) x +(y + z)=(x + y)+ z [ассоциативность];

3) в L существует такой элемент, что x +0= x для всех [существование нуля];

4) для каждого существует такой элемент - x, что x +(- x)=0 [существование противоположного элемента].

[ Эти четыре свойства можно было высказать короче: в L введена операция сложения, превращающая L в абелеву группу.]

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент ,называемый произведением элемента x на число ,причем выполняются следующие свойства

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

В зависимости от того, какой запас чисел используется (все комплексные или только действительные), различают комплексные или действительные пространства.