![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.
Пусть --
-мерное линейное пространство,
и
-- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть
-- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.
Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства
,
и
-- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства
,
-- его образ, то есть
. Пусть
и
-- координатные столбцы векторов
и
в старом базисе, а
,
-- в новом. Тогда в силу формулы (19.3)
. По предложению 18.5 имеем
,
. Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем
. Откуда
. С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе
. Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем
.
Определение 19.2 Две квадратных матрицы и
одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица
, что
.
Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 197 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!