Изложение метода

Интерполяция кубическими сплайнами является частным случаем кусочно-полиномиальной интерполцией. В этом специальном случае между любыми двумя соседними узлами функция интерполируется кубическим полиномом. его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:

Кроме того, на границе при и ставятся условия

(2)

Будем искать кубический полином в виде

(3)

Из условия имеем

(4)

Вычислим производные:

и потребуем их непрерывности при :

(5)

Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно , число уравнений (4) и (5) равно . Недостающие два уравнения получаем из условия (2) при и :

Выражение из (5) , подставляя это выражение в (4) и исключая , получим

Подставив теперь выражения для и в первую формулу (5), после несложных преобразований получаем для определения разностное уравнение второго порядка

(6)

С краевыми условиями

(7)

Условие эквивалентно условию и уравнению . Разностное уравнение (6) с условиями (7) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида , где вектор соответствует вектору , вектор поэлементно равен правой части уравнения (6), а матрица имеет следующий вид:

где и .