Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Метод секущих — один из численных методов решения уравнений.
В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага. Тогда формула итераций оказывается очень проста:
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет
Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.
Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения
откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .
На чертеже справа изображены итерации при в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 222 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!