Применение теории вычетов

Рассмотрим применение теории вычетов к вычислению интегралов от функции действительной переменной.

а) R(cos x, sin x)dx = R(, ) = (z)dz. (1)

Здесь R – рациональная функция от cos x и sin x, непрерывная на отрезке [0, 2 ].

(z)dz можно вычислять с помощью вычетов или как это делалось в теме 10.

Пример 15.1. Вычислить I =

Решение.

Используя формулу (1), получим

I = = =

= = .

Подынтегральная функция имеет простые полюсы = – , = – 3, причем только = – лежит внутри =1. Тогда (формула (2), тема 13)

Res f (– ) = .

Согласно основной теореме о вычетах, имеем

I = 2 = .

б) f(x)dx = 2 i Res f().

Здесь f(x) = – рациональная функция, не имеющая полюсов на действительной оси, причем m n + 2. Полюсы , k = 1, 2, …, n, функции f(z) лежат в верхней полуплоскости.

Пример 15.2. Вычислить I =

Решение.

Функция f(x) удовлетворяет выше указанным условиям.

Функция f(z) имеет полюсы второго порядка = i, = – i. Полюс = i лежит в верхней полуплоскости. Тогда (формула (1), тема 13) имеем

Res f(i) = ( ) =

= () = = .

Получим

I = 2 Res f(i) = 2 = – .