![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим применение теории вычетов к вычислению интегралов от функции действительной переменной.
а) R(cos x, sin x)dx =
R(
,
)
=
(z)dz. (1)
Здесь R – рациональная функция от cos x и sin x, непрерывная на отрезке [0, 2 ].
(z)dz можно вычислять с помощью вычетов или как это делалось в теме 10.
Пример 15.1. Вычислить I =
Решение.
Используя формулу (1), получим
I =
=
=
=
=
.
Подынтегральная функция имеет простые полюсы = –
,
= – 3, причем только
= –
лежит внутри
=1. Тогда (формула (2), тема 13)
Res f (– ) =
.
Согласно основной теореме о вычетах, имеем
I = 2
=
.
б) f(x)dx = 2
i
Res f(
).
Здесь f(x) = – рациональная функция, не имеющая полюсов на действительной оси, причем m
n + 2. Полюсы
, k = 1, 2, …, n, функции f(z) лежат в верхней полуплоскости.
Пример 15.2. Вычислить I =
Решение.
Функция f(x) удовлетворяет выше указанным условиям.
Функция f(z) имеет полюсы второго порядка = i,
= – i. Полюс
= i лежит в верхней полуплоскости. Тогда (формула (1), тема 13) имеем
Res f(i) =
(
) =
=
(
) =
=
.
Получим
I = 2 Res f(i) = 2
= –
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 366 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!