Сходящиеся ряды комплексных чисел

Определение: Числовым рядом комплексных чисел z_1, z_{2, …,} z_{n, …} называется выражение вида

z₁ + z₂ +_…, z_n +_…= , (3.1)

где z_n называют общим членом ряда.

Определение: Число S_n = z₁ + z₂ +_…, z_n называется частичной суммой ряда.

Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S_n} его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).

Так как

z_n = x_n + iy_n,

то ряд (1) записывается в виде

= + .

Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).

Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .

Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда

Решение.

Рассмотрим ряды

и

.

Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды

и

сходятся.

Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .

Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.

;

Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.

4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

, (4.1)

где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости ряда (4.I) является круг .

Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:

,

(4.2)

Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.

Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:

а) ; б) .

Решение:

а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой

.

В нашем случае

.

Тогда

.

Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством

.

б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.

Имеем:

Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .

5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.

6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.

Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:

,

,

.

Эти функции связаны формулами Эйлера:

,

,

.

Функции

,

называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами

,

.

Функции , , , определяются как и в действительном анализе.

Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:

.

Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:

,

– его аргумент.

Пример 5.1. Найти

Решение.

.

Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.

Решение.

Найдем модуль и аргумент этого числа:

,

Тогда получим

.

8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.

Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.

Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z). E – область определения функции.

Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде

f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).

U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z₀, исключая, может быть, саму точку z₀. Число А называется пределом функции f(z) в точке z₀, если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z₀ и удовлетворяющих неравенству |z – z₀| < δ, будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.

Записывают

.

Из определения следует, что z → z₀ произвольным образом.

Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z₀= x₀ + iy₀ необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x₀, y₀).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z₀, включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z₀, если

.

Теорема. Для непрерывности функции в точке z₀ = x₀ + iy₀ необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x₀, y₀).

Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.

Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение.

В формулу, задающую функцию, подставим

, .

Получим

.

Отсюда получим

,

.

Пример 7.2. Имеет ли предел в точке z = 0 функция . Найти точки непрерывности функции.

Решение.

Выделив действительную и мнимую части функции f(z), имеем

,

.

Выясним, имеет ли функция предел в точке (0,0).

Пусть x = 0, y ® 0.

Тогда

.

Пусть x ® 0, y = x².

Тогда

.

Видим, что при стремлении точки (x, y) к нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .

Пусть z₀ = x₀ +iy₀, одна из таких точек.

Тогда

.

Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.

9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.

Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.

Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.

Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:

называется функциональным рядом.

Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.

Определение. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в области D, если для любого z принадлежащего D, соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (1) сходится в области D, то в этой области можно определить однозначную функцию f(z), значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D.

Определение. Если

для любого z принадлежащего D, выполняется неравенство:

то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D.