Теорема. Признак Вейерштрасса

Если всюду в области D для членов ряда (1) выполняется неравенство

,

где а_n – комплексные числа и ряд сходится абсолютно, то ряд (1) сходится равномерно.

Теорема.

Степенной ряд

радиус сходимости которого R, сходится равномерно в любом замкнутом круге

,

где r < R.

Доказательство:

Пусть z принадлежит границе круга

- произвольная точка. Т.к. z принадлежит кругу сходимости

, то в точке z, ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд

далее и

выполняется неравенство:

- по признаку Вейерштрасса.

Ч.т.д.