Интегральная формула Коши

	Теорема Коши позволяет также установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее определения и граничными значениями. При этом имеет место следующее соотношение (рис.19):
	(52)
Рис.19

Формула (52) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

(53)

Формула Коши может быть расширена для производных аналитической функции , и так как входит в интеграл (52) как параметр, то на основе свойств интегралов, зависящих от параметра, после -кратного дифференцирования, можно получить

(54)

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52), (54) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20).

Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52):

Рис.20

Пример 3-10. Вычислить интеграл , если круг находится внутри контура интегрирования .

Решение.Подынтегральная функция содержит особенности в точках , которые расположены внутри , и поэтому формула Коши (52) для такого случая напрямую неприменима. Преобразуем контур следующим образом: построим два дополнительных контура в виде окружностей , с центрами в точках и и соединим их разрезами с контуром (рис.21). В односвязной области, захваченной объединенным контуром , подынтегральная функция является аналитической, и тогда c помощью теоремы Коши получим
Рис.21

где знаки во втором и третьем интегралах учитывают, что направление обхода контуров отрицательное, а интегралы по берегам разрезов взаимно уничтожаются. Для интегралов по получим

Отметим, что рассмотренный способ применения теоремы Коши в то же время является доказательством следствия (49).

Пример 3-11. Вычислить .

Решение. Найдем решения уравнения , , , следовательно: . Так как внутрь контура интегрирования попадает только точка (рис.22), следовательно, интеграл может быть вычислен с помощью формулы (52) как
Рис.22

Пример 3-12. Вычислить интеграл .

Решение. Точка находится внутри контура интегрирования, который является окружностью, но так как знаменатель содержит степень, то для вычисления интеграла в данном случае необходимо использовать интегральную формулу Коши для производной (54). Тогда

Пример 3-13. Вычислить интеграл .

Решение. Знаменатель обращается в ноль в точках , и так как контур интегрирования представляет собой окружность радиуса 1 с центром в точке , то внутрь попадает только точка . Тогда, учитывая, что , по формуле Коши (52) получим

Пример 3-14. Вычислить интеграл .

Решение.Знаменатель подынтегрального выражения обращается в ноль в точках и , которые находятся внутри контура (рис. 23), причем является кратным корнем уравнения . Поступая аналогично примеру 3-10 и дополняя контур интегрирования обходом особенных точек функции, интеграл задачи можно выразить через два интеграла по контурам (рис.23). Тогда, применяя формулы для интегралов Коши (54) и (52):
Рис.23

Во многих важных случаях интегралов от функций действительной переменной оказывается удобным рассмотреть некоторые вспомогательные интегралы от комплексных функций.

Пример 3-15. Вычислить интеграл , используя известный результат для интеграла Пуассона .

Решение. Для вычисления интеграла рассмотрим вспомогательную функцию и проинтегрируем ее по границе прямоугольной области , (рис.24). Тогда,по теореме Коши (48) получим

Рис.24

Перейдем к пределу , тогда, так как , то последний интеграл исчезает, и, учитывая значение интеграла Пуассона, получим

и после разделения действительной и мнимой частей, а также учитывая, что функция четная:

19. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Лиувилля.

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема: Если аналитична в , то аналитична в . Доказательство: Пусть рассмотрим открытый шар , где . Тогда по интегральной формуле Коши : , где . Функция аналитична в силу того, что аналитична и . Функция Аналитична в силу того, что аналитична. Но . Теорема доказана. Следствие (интегральная формула Коши для производных): Пусть - область с кусочно-гладкой границей и аналитична в и непрерывна вплоть до границы. Тогда имеют место формулы: , , …, Следствие 2: Производная аналитической функции непрерывна.

20. Теорема Вейерштрасса.

ВЕЙЕРШТРАССА ТЕОРЕМА

- 1) В. т. о бесконечном про и введении [1]: для любой наперед заданной последовательности точек плоскости комплексного переменного

существует целая функция, имеющая нулями точки этой последовательности и только пх. Эта функция может быть построена в виде канонического произведения

где - кратность нуля в последовательности (1), а

Множители

наз. первичными, или примарными, множителями Вейерштрасса. Показатели в них выбираются так, чтобы обеспечить сходимостьпроизведения (2), напр., выбор обеспечивает сходимость (2) для любой последовательности вида (1). Из этой теоремы вытекает также, что любая целая функция с нулями (1) имеет вид

где - канонич. произведение (2), а - нек-рая целая функция (см. также Адамара теорема о целых функциях).

В. т. о бесконечном произведении обобщается на случай произвольной области : какова бы ни была последовательность точек , не имеющая предельных точек в D, существует голоморфная в Dфункция , имеющая нули в точках и только в них.

Утверждение теоремы в части, касающейся существования целой функции с произвольно заданными нулями, обобщается следующим образом на функции многих комплексных переменных; пусть каждой точке комплексного пространства поставлена всоответствие нек-рая ее окрестность п голоморфная в функция . При этом, если пересечение окрестностей точек , не пусто, то отношение в есть голоморфная функция. При этих условиях существует целая функция в такая, что отношение есть голоморфная функция в любой точке . Это утверждение известно как вторая теорема Кузена (см. также Кузена проблемы).

Лит.:[1] Weierstrass К., Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.

2) В. т. о приближении функций: для любой действительной непрерывной на отрезке функции существует последовательность алгебра-ич. многочленов равномерно сходящаяся на к функции ; установлена К. Вейерштрассом [1].

Аналогичные результаты имеют место во всех пространствах . Усилением этой В. т. является Джексона теорема.

Эта теорема справедлива также для действительных непрерывных -периодич. функций и тригонометрич. полиномов или, напр., для действительных функций, непрерывных на ограниченной замкнутой области т- мерного пространства, и многочленов от тпеременных. Об обобщениях см. Вейерштрасса - Стоуна теорема. О приближении функций комплексного переменного многочленами см. [3].

Лит.:[1] Weierstrass К., "Sitzungsber. Acad. Berlin". 1885, S. 633-9, 789-805; 12] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976. Ю. Н. Субботин.

3) В. т. о равно мерно сходящихся рядах аналитических функций [1]: если члены ряда

равномерно сходящегося внутри области Dкомплексной плоскости , являются аналитич. функциями в D, то его сумма s(z) также является аналитич. функцией в D. Кроме того, ряды

полученные m-кратным почленным дифференцированием ряда (*) при любом т, также равномерно сходятся внутри Dк производным от суммы ряда (*). Эта теорема обобщается на ряды аналитич. функций многих комплексных переменных, равномерно сходящиеся внутри области Dкомплексного пространства , , причем ряды, составленные из частных производных любого порядка от членов ряда (*), сходятся равномерно к соответствующим частным производным от суммы ряда:

Е. Д. Соломснцсе.

4) В. т. о равно мерной сход и мост и на границе области [1]: если члены ряда

непрерывны в замкнутой ограниченной области комплексной плоскости и аналитичны в , то из равномерной сходимости этого ряда на границе области вытекает его равномерная сходимость в замкнутой области .

Это свойство рядов, составленных из аналитич. функций, остается справедливым и для аналитич. или гармония, функций, заданных соответственно в областях комплексного пространства или евклидова пространства . Вообще, оно остается справедливым в любой ситуации, где применим максимума модуля принцип.

Лит.:[1] Weierstrass К., Abhandlungen aus der Funktionenlehre, В., 1860; Math. Wcrke, Bd 2, B" 1895; [2J Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ш. Н., Курс современного анализа, 2 изд., пер. с англ., ч. 1, М., 1963, гл. 3; [3] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 3, т. 2, М., 1968, гл. 7. Е. Д. Соломенцев.

5) В. т. подготовительная - теорема, полученная К. Вейерштрассом [1] и сформулированная им первоначально в 1860 как подготовительная лемма при доказательстве существования и аналитичности неявной функции комплексного переменного, определяемой уравнением , левая часть к-рого есть голоморфная функция двух комплексных переменных. Эта теорема обобщает на функции многих комплексных переменных следующее важное свойство голоморфных функций одного комплексного переменного: если - голоморфная функция от в окрестности начала координат и то она представима в виде , где - кратность нуля в начале координат, , а голоморфная функция отлична от нуля в нек-рой окрестности начала.

Формулировка подготовительной теоремы Вейерштрасса для функций пкомплексных переменных, Пусть

- голоморфная функция от в поликруге

причем

Тогда в некотором полпкруге

функция представима в виде

где - кратность нуля функции

f(z_n)=f(0, 0,..., 0, z_n)

вначале координат, s>=l; функции f_j (z₁, z₂,..., z_n-1) голоморфны в полнкруге

функция голоморфна и не обращается в нуль в поликруге V. Функции и определяются условиями теоремы однозначно.

Вместо начала координат можно принять, изменив соответственно формулировку, любую точку комплексного пространства . Из подготовительной В. т. вытекает, что при n>1, в отличие от случая одного комплексного переменного, во всякой окрестности любого нуля голоморфной функции находится бесконечное множество других ее нулей.

Подготовительная В. т. имеет.чисто алгебраич. природу п может быть сформулирована для формальных степенных рядов. Пусть - кольцо формальных степенных рядов от переменных с коэффициентами из поля комплексных чисел - такой ряд из этого кольца, члены к-рого имеют низшую степень , причем существует член вида . Тогда можно представить в виде _L,

где - ряды из кольца

свободные члены к-рых равны нулю, a g - ряд из со свободным членом, отличным от нуля. Формальные степенные ряды п определяются по однозначно.

Иногда подготовительной В. т. наз. следующее утверждение о делении: пусть ряд

удовлетворяет только что указанным условиям, - любой ряд из . Тогда существуют такой ряд

и такие ряды

для к-рых выполняется равенство

Подготовительная В. т. верна также для колец формальных ограниченных рядов. Она дает способ индуктивного перехода, напр., от . Таким образом удается установить нек-рые свойства колец , напр., нётеровость и факториальность. Имеется обобщение этой теоремы для дифференцируемых функций (см. [6]).

21. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

22. Неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в круге |z – z_o| < R, разлагается единственным образом в сходящийся в этом круге степенной ряд

,

где коэффициенты c_n находятся по формулам:

или

= , r < R.

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для функции f(z) в окрестности точки z = z₀.

Граница круга сходимости ряда Тейлора проходит через ближайшую к точке z₀ точку, в которой функция f(z) не является аналитической.

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в кольце r< |z – z_o| < R, разлагается единственным образом в сходящийся в этом кольце ряд

= + ,

где коэффициенты c_n находятся по формулам:

= ,

причем

r < ρ < R, n=0, ± 1; ± 2;...

Этот ряд называется рядом Лорана для функции f(z).

Ряд

называется правильной частью ряда Лорана, а ряд

– главной частью ряда Лорана.

Определение коэффициентов c_n по указанным выше формулам не всегда является удобным. Поэтому полезно помнить следующие разложения функций в ряд Тейлора:

, |z| < 1	(12.1)
, |z| < 1	(12.2)
еz = 1+ + +…+ +…, |z| < 4	(12.3)
sin z = – + – …+(-1)n + …, |z| < 4	(12.4)
сos z = 1– + –…+…+(-1)n + …, |z| < 4	(12.5)
sh z = + + + …+ + …, |z| < 4	(12.6)
ch z = 1+ + +…+…+ + …, z| < 4	(12.7)

Пример 12.1. Разложить функции и sin z по степеням z – 2 и z – соответственно. Найти круг сходимости каждого из рядов.

Решение.

а) Преобразуем функцию :

.

Полагая

и, используя разложение (2), получим

.

Так как расстояние от точки z = 2 до точки z = 0 равно 2, то ряд сходится в круге |z – 2| < 2.

б) Преобразуем функцию sin z:

sin(z- + ) = cos(z- ).

Обозначим

Z – =t.

Тогда, используя разложение (5), получим:

sin z = 1- + -…+ (-1)ⁿ +....

Так как функция sin z аналитична во всей плоскости, то ряд сходится в круге |z - | <4.

Пример 12.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце 1 < |z| < 2.

Решение.

Запишем функцию в виде

.

Функция аналитична в круге |z| < 1, а ее нужно разложить вне этого круга. Поэтому разлагаем функцию по отрицательным степеням.

.

Использовали разложение (1), положив .

Функция аналитична в круге |z| < 2. Поэтому она разлагается в ряд Тейлора в этом круге.

.

.

Использовали разложение (1), положив .

Окончательно получили разложение функции в ряд Лорана в кольце 1 < |z| < 2, которое имеет вид:

.

23. Изолированные особые точки аналитической функции. Теорема Сохоцкого.

24. Разложение рациональной функции на целую часть и простые дроби. Мероморфные функции.

Определение. Если однозначная функция f(z) аналитична в кольце 0 < |z – z₀| < R (если z₀ = , то в кольце R < |z| < ), за исключением точки z₀, то точку z₀ называют изолированной особой точкой однозначного характера для функция f(z).

Изолированные особые точки однозначного характера для функции f(z) делятся на три вида:

1) Если существует и конечен, то точка z₀ называется устранимой особой точкой для функции f(z). В этом случае разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце 0 < |z – z₀| < R не содержит отрицательных степеней z – z₀ (если z₀ = , то разложение функции f(z) в кольце R < |z| < не содержит положительных степеней z).

2) Если = , то точка z₀ называется полюсом функции f(z). В этом случае разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце 0 < |z – z₀| < R содержит конечное число отрицательных степеней z – z₀ (если z₀ = , то разложение функции f(z) в кольце R < |z| < содержит конечное число положительных степеней z).

Порядок полюса определяется показателем старшей отрицательной степени (показателем старшей положительной степени, если z₀= ).

3) Если не существует, то точка z₀ называется существенной особой точкой функции f(z).

В этом случае разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце 0 < |z – z₀| < R содержит бесконечное число отрицательных степеней z – z₀ (если z ₀ = , то разложение функции f(z) в кольце R < |z| < содержит бесконечное число положительных степеней z).

Определение. Точка z₀, в которой функция f(z) аналитична, называется нулем функции f(z) порядка m 1, если

f(z₀) = f^/ (z₀) = … =f^(m-1)(z₀) = 0, f^(m)(z₀) 0.

Разложение функции f(z) в степенной ряд в окрестности нуля z₀ имеет вид

f(z)=C_m (z-z₀ )^m + C_m+1 (z-z₀ )^m+1 + ….

Если m = 1, то нуль называется простым.

Теорема. Для того, чтобы точка z₀ была нулем порядка m аналитической функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы для функции эта точка была полюсом порядка m.

Пример 13.1. Выяснить характер особых точек в расширенной плоскости для следующих функций:

а) f(z)= z cos – z, б) f(z) = .

Решение.

а) Функция f(z) в конечной части плоскости имеет особую точку z₀ = 0. Для выяснения ее характера разложим функцию в ряд Лорана в кольце 0 < |z| < .

f(z) = z (1– + – …) – z = – + – ….

Разложение содержит бесконечно много положительных степеней, следовательно, z₀ = 0 – существенная особая точка для функции f(z). Так как кольцо 0 < |z| < является окрестностью точки z₀ = , то разложение в точке z₀= будет таким же, как и в точке z₀ = 0.

Так как это разложение не содержит отрицательных степеней, то точка z₀ = – устранимая особая точка.

б) Для функции = точки z = 0 и z = – 1 являются простыми нулями.

Следовательно, для функции f(z) эти точки являются простыми полюсами. Это видно также из того, что

= = .

В точке z₀ = = 0. Это значит, что точка z₀ = является устранимой особой точкой.

25. Вычет аналитической функции. Вычисление вычетов.

26. Основная теорема о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению интегралов.

Определение. Вычетом функции в конечной изолированной особой точке называется коэффициент при члене в разложении в ряд Лорана в окрестности точки . Обозначение

при этом функция аналитична в кольце

Определение. Вычетом функции называется коэффициент С, при члене в разложении в ряд Лорана в окрестности точки , взятый с противоположным знаком.

Функция аналитична в кольце . В обоих случаях обход окружностей совершается в положительном направлении. В случае, когда – полюс порядка для функции , то

. (1)

Если , причем , , , то точка – простой полюс для и . (2)

Теорема. Если функция аналитична на расширенной плоскости , за исключением конечного числа особых точек, то сумма всех ее вычетов (включая и вычет в точке ) равна нулю.

Теорема. Если функция аналитична в области , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой кривой за исключением конечного числа особых точек , лежащих в , то

.

Эта теорема называется основной теоремой о вычетах.

Замечание. Если в области находится много особых точек, а вне области значительно меньше, то лучше подсчитать сумму вычетов в особых точках, лежащих вне включая , а потом использовать теорему о сумме вычетов.

Пример 14.1. Найти вычеты во всех особых точках расширенной плоскости (включая точку ) для функции .

Решение.

Точка является полюсом 4-го порядка для данной функции. По формуле (1) находим

.

В силу теоремы о сумме вычетов, получим

,

тогда

.

Пример 14.2. Вычислить .

Решение.

Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках , , . Эти точки являются простыми нулями для знаменателя. Это значит, что для функции точки будут простыми полюсами. Внутрь окружности попадают точки , .

Используя формулу (2), получим:

В силу основной теоремы о вычетах находим