Интегральное определение логарифмической функции

Мы знаем, что при выполняется равенство

Оно позволяет дать новое определение логарифмической функции, не опирающееся на понятие показательной функции. Именно, положим по определению, что при

Выведем, исходя из этого определения, свойства логарифмической функции.

а) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений . В самом деле, функция непрерывна при , а потому в силу теоремы о существовании определенного интеграла интеграл существует при всех .

б) Логарифмическая функция дифференцируема, и ее производная в любой точке равна

В самом деле, функция непрерывна при , а потому в силу теоремы о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом имеем:

Поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то логарифмическая функция непрерывна при .

в) Логарифмическая функция строго возрастает при . В самом деле, если , то , т. е. производная функции положительна. Следовательно, эта функция строго возрастает.

г) Так как и логарифмическая функция строго возрастает, то при и при .

д) Если и , то выполняется равенство

(1)

В самом деле, имеем:.

Сделаем во втором интеграле подстановку . Когда меняется от до , переменная изменяется от 1 до . Поэтому . Значит,

(2)

Методом математической индукции можно доказать справедливость равенства (1) для любого конечного множества положительных чисел

(2)

е) Если и , то выполняется равенство

(3)

В самом деле, из равенства (1) следует, что откуда без труда получается требуемое равенство (3).

ж) Если и — натуральное число, то

(4)

Это легко следует из равенства (2).

з) Логарифмическая функция стремится к , когда , и к , когда

(5)

В самом деле, возьмем любое число . Тогда . Поскольку при , то

Это показывает, что строго возрастающая функция может принимать сколь угодно большие значения, и потому . Так как

, а , то .

Из непрерывности логарифмической функции и равенств (5) следует, что множество ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В частности, найдется значение аргумента, при котором эта функция равна единице. Обозначим это значение буквой е. Таким образом, теперь число е определяется равенством .

и) Справедливо равенство . В самом деле, в силу непрерывности функции имеем:

, но .

Так как , то

Значит, и , то есть .

При описанном выше построении теории логарифмической функции мы определяем показательную функцию как обратную логарифмической (существование обратной функции следует из того, что функция строго возрастает и непрерывна на промежутке . Свойства показательной функции при этом выводятся из соответствующих свойств логарифмической функции.

Наконец, определим степень с любым показателем , положив при .

Из свойств логарифмической и показательной функций следует, что при и имеем:

Поэтому . Это показывает, что данное определение степени совпадает с обычным.