![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сумма степенного ряда
,
есть функция непрерывная в любом круге
,
где R- радиус сходимости.
Это следует из двух предыдущих теорем.
10. Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости.
11. Понятие аналитической функции. Гармонические функции. Целые функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
12. Конформные отображения. Однолистность функции.
Пусть функция w = f(z) аналитична в области D и в точке
Тогда
можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения в точке z при отображении w = f(z), а
как угол поворота в точке z при отображении w = f(z).
Определение. Отображение, обладающее в точке z свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений, называется конформным в точке z.
Определение. Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.
Теорема. Аналитическая функция w = f(z), и только она осуществляет конформное отображение в каждой точке , где
Пример 9.1. Найти:
1) точки комплексной плоскости, в которых отображение конформно;
2) точки, в которых коэффициент растяжения меньше 1, равен 1, больше I, угол поворота равен нулю;
3) угол поворота и коэффициент растяжения в точке z=1+ i.
Решение.
Отображение конформно в точках
, так как
в этих точках.
В точках круга коэффициент растяжения меньше I, так как в этих точках
. В точках окружности
он равен I и вне круга
коэффициент растяжения больше I.
Угол поворота равен нулю в точках z = x > 0, так как в этих точках .
Пусть
z = 1 + i.
Тогда
и коэффициент растяжения в точках z=1+i равен
,
а угол поворота равен
.
Определение. Функция w = f (z) называется однолистной в области D принадлежащей z, если различные значения переменной z соответствуют различные значения функции.
Теорема. Если функция w =f (z) однолистная и непрерывна в области D принадлежащей z, то множество ∆ принадлежащей w, на которой функция f(z) отображает область D, так же является областью и обратная функция z = φ(w) непрерывная в ∆.
13. Линейная и дробно-линейная функции. Степенная функция и радикал.
14. Понятие римановой поверхности Показательная и логарифмическая функции. Степень с произвольным показателем.
15. Тригонометрические функции. Функция Жуковского.
Далее рассматриваются некоторые элементарные функции и находятся области в плоскости Z которые однолистно и конформно отображаются этими функциями на области плоскости W.
1). Линейная функция.
Линейная функция имеет вид w = az + b, где a, b- комплексные числа, причём a ≠ 0. Если z стремится к бесконечности, то и w стремится к бесконечности. Используя вышеприведенные определения, показывается, что линейная функция однолистно и конформно отображает расширенную плоскость Z на расширенную плоскость W.
2). Дробно-линейная функция.
Дробно-линейная функция имеет вид w = (az + b)/(cz + d), где ad – bc ≠ 0, c ≠ 0. Если z стремится к –d/c то w стремится к бесконечности, если z стремится к бесконечности, то w стремится к a/c.
Дробно-линейная функция однолистно и конформно отображает плоскость Z на плоскость W.
3). Степенная функция.
Степенная функция имеет вид , и n < 1, n принадлежит N. Простейшими областями в плоскости Z которые однолистно и конформно степенной функцией отображаются на плоскость W, будут секторы, задаваемые неравенствами
2кП <a rgz < (2(k + 1)П)/n, k = 0,
каждый из этих секторов отображается на всю плоскость W с разрядом вдоль положительной действительной оси.
4) Функция радикал.
Под радикалом понимается функция , n>1,n принадлежит N. Эта функция является обратной и степенной функцией
. Радикал является n-значной функцией. Все n-значные функции при каждом z≠0 находятся по формуле
. При каждом к получаем однозначную функцию
, которую называют однозначной ветвью n-значной функции
.Каждая ветвь
однолистно и конформно отражает плоскость Z с разрезом вдоль положительной части действительной оси на соответствующий сектор плоскости W,задаваемый неравенством
2кП<argz<(2(k+1)П)/n, k=0.
4) Показательная функция.
Показательная функция имеет вид , z принадлежит Z. Простейшими областями в плоскости Z, которые однолистно и конформно отображаются этой функцией, будут горизонтальные полости, задаваемые неравенствами
. Они отображаются на всю плоскость W с разрезом вдоль положительной части действительной оси.
5). Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция имеет вид w=Lnz, z≠0. Она является обратной к показательной функции . Функция w=Lnz является бесконечнозначной и все её значения при каждой z≠0 находятся по формуле
.
Функции называются однозначными ветвями функции w=Lnz. Каждая ветвь отображает однолистно и конформно плоскость Z с разрезом вдоль положительной части действительной оси на горизонтальную полосу
.
6). Функция Жуковского.
Функция Жуковского имеет вид . Если z стремится к 0, то w стремится к 0, если z стремится к ∞,то w стремится к ∞. Простейшими областями в плоскости, которые однолистно и конформно отображается этой функцией, будут круг │z│<1 и кольцо 1<│z│<+∞. Они отражаются на всю плоскость W с разрезом вдоль действительной оси от точки w=-1 до точки w=1..
7).Тригонометрические функции.
Как пример рассмотрим функцию
.
Отображение этой функции можно представить как три последовательных отображения
,
которые уже рассмотрены. Простейшими отраслями в плоскости Z, которые однолистно и конформно отображаются функцией , будут вертикальные полосы, задаваемые неравенствами kП<Rez<(k+1)П,
.
Определение. Натуральным логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что ew=z.
Обозначается Ln z
Все значения Ln z находятся по формуле:
Ln z = ln½z½+ i(arg z + 2kp), где k = 0, ±1, …
Определение. Степень комплексного числа z с произвольным показателем a (обозначается za) определяется равенством: za = eaLn z.
Пример 10.1. Найти все значения Ln (1 + i).
Решение.
Ln (1 + i) = Ln ½1 + i½ + i(arg z + 2kp) = Ln ,
где k = 0, ±1, …
Видим, что все значения Ln (1 + i) находятся на прямой . Расстояние между соседними значениями равно 2p.
Пример 10.2. Найти все значения 4 i.
Решение.
4 i = e iLn4 = e i (ln4 + i(arg4 + 2kp )) = e i (ln4 + i 2kp ) = e - 2k p + iln4 = e - 2kp× e iln4.
При к = 0 имеем 4 i = e iLn4 = cos ln4 + i sin ln4.
16. Интеграл функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути. Свойства и вычисление интеграла. Теорема Коши.
Пусть в области D комплексной плоскости задана непрерывная функция w = f(z) и гладкая кривая g, причём g задаётся параметрическими уравнениями z = z(t), a £ t £ b. Тогда
. (11.1)
Теорема Коши для односвязной области. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл вдоль любой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области D, равен нулю, т. е.
. (11.2)
Теорема Коши для многосвязной области. Если функция f(z) аналитична в замкнутой многосвязной области D, граница которой состоит из конечного числа замкнутых жордановых спремляемых кривых g1, …, gn, причём кривые g1, …, gn, находятся во внутренности кривой g. Тогда
, (11.3)
где обход всех кривых совершается одновременно либо против, либо по часовой стрелке.
Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой области D, ограниченной спрямляемой кривой g. Тогда справедливы следующие формулы для вычисления значений функции f(z) и в точке
:
, (11.4)
, (11.5)
где кривая g обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).
Формула (11.4) называется интегральной формулой Коши.
Пример 11.1. Вычислить , где g – отрезок, направленный из точки z = 0 в точку z = 2 + i.
Решение. Параметрические уравнения отрезка будут
x = t, y = , 0 £ t £ 2,
в комплексной форме
z = x + iy = t + i = t (1 +
).
Используя формулу (1), получим
.
Пример 11.2. Вычислить I = , где
- произвольная замкнутая кривая, не проходящая через точки z = 0 и z = 1.
Решение.
а) Пусть кривая не охватывает точек 0 и 1.
Тогда функция
f(z) =
аналитична в области, ограниченной кривой и по теореме Коши для односвязной области I = 0.
б) Пусть кривая охватывает точку z = 0.
Тогда функция
f(z) =
аналитична в области, ограниченной этой кривой.
Используя формулу (11.4), получим
I = = 2
i f(0) = 2
i.
в) Пусть теперь кривая охватывает точку z = 1.
Тогда функция
f(z) =
аналитична в области, ограниченной кривой .
Применяя формулу (11.5), получим
I = – = –
f’’(1) = –
e i.
г) Наконец, если кривая охватывает точки z = 0 и z = 1, то согласно теореме Коши для многосвязных областей
I = =
+
= 2
I –
e i =
(2 – e)i.
Здесь кривые и
охватывают, соответственно, точки 0 и 1.
17. Первообразная для функции комплексной переменной и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
18. Интегральное представление логарифмической функции. Интегральная формула Коши.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 906 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!