Теорема

Сумма степенного ряда

,

есть функция непрерывная в любом круге

,

где R- радиус сходимости.

Это следует из двух предыдущих теорем.

10. Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости.

11. Понятие аналитической функции. Гармонические функции. Целые функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

12. Конформные отображения. Однолистность функции.

Пусть функция w = f(z) аналитична в области D и в точке Тогда можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения в точке z при отображении w = f(z), а как угол поворота в точке z при отображении w = f(z).

Определение. Отображение, обладающее в точке z свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений, называется конформным в точке z.

Определение. Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.

Теорема. Аналитическая функция w = f(z), и только она осуществляет конформное отображение в каждой точке , где

Пример 9.1. Найти:

1) точки комплексной плоскости, в которых отображение конформно;

2) точки, в которых коэффициент растяжения меньше 1, равен 1, больше I, угол поворота равен нулю;

3) угол поворота и коэффициент растяжения в точке z=1+ i.

Решение.

Отображение конформно в точках , так как в этих точках.

В точках круга коэффициент растяжения меньше I, так как в этих точках . В точках окружности он равен I и вне круга коэффициент растяжения больше I.

Угол поворота равен нулю в точках z = x > 0, так как в этих точках .

Пусть

z = 1 + i.

Тогда

и коэффициент растяжения в точках z=1+i равен

,

а угол поворота равен

.

Определение. Функция w = f (z) называется однолистной в области D принадлежащей z, если различные значения переменной z соответствуют различные значения функции.

Теорема. Если функция w =f (z) однолистная и непрерывна в области D принадлежащей z, то множество ∆ принадлежащей w, на которой функция f(z) отображает область D, так же является областью и обратная функция z = φ(w) непрерывная в ∆.

13. Линейная и дробно-линейная функции. Степенная функция и радикал.

14. Понятие римановой поверхности Показательная и логарифмическая функции. Степень с произвольным показателем.

15. Тригонометрические функции. Функция Жуковского.

Далее рассматриваются некоторые элементарные функции и находятся области в плоскости Z которые однолистно и конформно отображаются этими функциями на области плоскости W.

1). Линейная функция.

Линейная функция имеет вид w = az + b, где a, b- комплексные числа, причём a ≠ 0. Если z стремится к бесконечности, то и w стремится к бесконечности. Используя вышеприведенные определения, показывается, что линейная функция однолистно и конформно отображает расширенную плоскость Z на расширенную плоскость W.

2). Дробно-линейная функция.

Дробно-линейная функция имеет вид w = (az + b)/(cz + d), где ad – bc ≠ 0, c ≠ 0. Если z стремится к –d/c то w стремится к бесконечности, если z стремится к бесконечности, то w стремится к a/c.

Дробно-линейная функция однолистно и конформно отображает плоскость Z на плоскость W.

3). Степенная функция.

Степенная функция имеет вид , и n < 1, n принадлежит N. Простейшими областями в плоскости Z которые однолистно и конформно степенной функцией отображаются на плоскость W, будут секторы, задаваемые неравенствами

2кП <a rgz < (2(k + 1)П)/n, k = 0,

каждый из этих секторов отображается на всю плоскость W с разрядом вдоль положительной действительной оси.

4) Функция радикал.

Под радикалом понимается функция , n>1,n принадлежит N. Эта функция является обратной и степенной функцией . Радикал является n-значной функцией. Все n-значные функции при каждом z≠0 находятся по формуле . При каждом к получаем однозначную функцию , которую называют однозначной ветвью n-значной функции .Каждая ветвь однолистно и конформно отражает плоскость Z с разрезом вдоль положительной части действительной оси на соответствующий сектор плоскости W,задаваемый неравенством

2кП<argz<(2(k+1)П)/n, k=0.

4) Показательная функция.

Показательная функция имеет вид , z принадлежит Z. Простейшими областями в плоскости Z, которые однолистно и конформно отображаются этой функцией, будут горизонтальные полости, задаваемые неравенствами . Они отображаются на всю плоскость W с разрезом вдоль положительной части действительной оси.

5). Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция имеет вид w=Lnz, z≠0. Она является обратной к показательной функции . Функция w=Lnz является бесконечнозначной и все её значения при каждой z≠0 находятся по формуле

.

Функции называются однозначными ветвями функции w=Lnz. Каждая ветвь отображает однолистно и конформно плоскость Z с разрезом вдоль положительной части действительной оси на горизонтальную полосу .

6). Функция Жуковского.

Функция Жуковского имеет вид . Если z стремится к 0, то w стремится к 0, если z стремится к ∞,то w стремится к ∞. Простейшими областями в плоскости, которые однолистно и конформно отображается этой функцией, будут круг │z│<1 и кольцо 1<│z│<+∞. Они отражаются на всю плоскость W с разрезом вдоль действительной оси от точки w=-1 до точки w=1..

7).Тригонометрические функции.

Как пример рассмотрим функцию

.

Отображение этой функции можно представить как три последовательных отображения

,

которые уже рассмотрены. Простейшими отраслями в плоскости Z, которые однолистно и конформно отображаются функцией , будут вертикальные полосы, задаваемые неравенствами kП<Rez<(k+1)П, .

Определение. Натуральным логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что e^w=z.

Обозначается Ln z

Все значения Ln z находятся по формуле:

Ln z = ln½z½+ i(arg z + 2kp), где k = 0, ±1, …

Определение. Степень комплексного числа z с произвольным показателем a (обозначается z^a) определяется равенством: z^a = e^{aLn z}.

Пример 10.1. Найти все значения Ln (1 + i).

Решение.

Ln (1 + i) = Ln ½1 + i½ + i(arg z + 2kp) = Ln ,

где k = 0, ±1, …

Видим, что все значения Ln (1 + i) находятся на прямой . Расстояние между соседними значениями равно 2p.

Пример 10.2. Найти все значения 4 ⁱ.

Решение.

4 ⁱ = e ^iLn4 = e ^{i (ln4 + i(arg4 + 2kp ))} = e ^{i (ln4 + i 2kp )} = e ^{- 2k p + iln4} = e ^{- 2kp}× e ^iln4.

При к = 0 имеем 4 ⁱ = e ^iLn4 = cos ln4 + i sin ln4.

16. Интеграл функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути. Свойства и вычисление интеграла. Теорема Коши.

Пусть в области D комплексной плоскости задана непрерывная функция w = f(z) и гладкая кривая g, причём g задаётся параметрическими уравнениями z = z(t), a £ t £ b. Тогда

. (11.1)

Теорема Коши для односвязной области. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл вдоль любой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области D, равен нулю, т. е.

. (11.2)

Теорема Коши для многосвязной области. Если функция f(z) аналитична в замкнутой многосвязной области D, граница которой состоит из конечного числа замкнутых жордановых спремляемых кривых g₁, …, g_n, причём кривые g₁, …, g_n, находятся во внутренности кривой g. Тогда

, (11.3)

где обход всех кривых совершается одновременно либо против, либо по часовой стрелке.

Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой области D, ограниченной спрямляемой кривой g. Тогда справедливы следующие формулы для вычисления значений функции f(z) и в точке :

, (11.4)

, (11.5)

где кривая g обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Формула (11.4) называется интегральной формулой Коши.

Пример 11.1. Вычислить , где g – отрезок, направленный из точки z = 0 в точку z = 2 + i.

Решение. Параметрические уравнения отрезка будут

x = t, y = , 0 £ t £ 2,

в комплексной форме

z = x + iy = t + i = t (1 + ).

Используя формулу (1), получим

.

Пример 11.2. Вычислить I = , где - произвольная замкнутая кривая, не проходящая через точки z = 0 и z = 1.

Решение.

а) Пусть кривая не охватывает точек 0 и 1.

Тогда функция

f(z) =

аналитична в области, ограниченной кривой и по теореме Коши для односвязной области I = 0.

б) Пусть кривая охватывает точку z = 0.

Тогда функция

f(z) =

аналитична в области, ограниченной этой кривой.

Используя формулу (11.4), получим

I = = 2 i f(0) = 2 i.

в) Пусть теперь кривая охватывает точку z = 1.

Тогда функция

f(z) =

аналитична в области, ограниченной кривой .

Применяя формулу (11.5), получим

I = – = – f’’(1) = – e i.

г) Наконец, если кривая охватывает точки z = 0 и z = 1, то согласно теореме Коши для многосвязных областей

I = = + = 2 I – e i = (2 – e)i.

Здесь кривые и охватывают, соответственно, точки 0 и 1.

17. Первообразная для функции комплексной переменной и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

18. Интегральное представление логарифмической функции. Интегральная формула Коши.