Формула Тейлора. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где -бесконечно малая более высокого порядка чем . , где линейная функция, причем .

Можно расписать, что , т.е в окрестности точки функция f(x) ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами:

Многочлен будем писать в виде

первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства .f(x) у которого существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты

Многочлен , , многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим

Рассмотрим функцию и вычислим

Т.о получим , остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда , где