Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

Докажем, что

() при

А раз и , то .

Кроме того: = 1

БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

=

= Вычислим . Рассмотрим = = .

По определению Гейне рассмотрим .

*

То есть = = = .

Также = = = =

1

БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Определение: бесконечно малая функция при , если . Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

5).

- произвольная.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквива­лентные.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

Доказательства:

(). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

(). ., .

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

= * * = .

1 1

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.

Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1) если существует , то .

2) если , то -точка разрыва функции 1-го рода.

3) если , то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0 .

2) < 0 , .

3) > 0 , и так далее.

.

.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ()

.

.

0 ()

Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .

(< )- верхняя граница. , то есть .

Противоречие.

Следствие: если , то .

БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Функция, непрерывная на отрезке.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке , то для любого можно указать такое , что для любых и из таких, что .

+ БОНУС

Доказательство:

Возьмем число . Построим на отрезке точки следующим образом: если точка уже построена, то рассмотрим множество , состоящее из всех точек , удовлетворяющих неравенствам: , .

Положим (см. рисунок), что:

если пусто (и на этом построение заканчивается).

если не пусто.

Заметим, что в силу непрерывности и для любого из отрезка . Последовательность может быть конечной или бесконечной. Предположим, что она бесконечна, тогда для всех . Пусть . Так как

, то функция непрерывна в точке слева, и потому можно указать такое число

, что и для любого из интервала . По определению числа можно найти в интервале . Тогда любое число из интервала принадлежит интервалу , и потому

, что противоречит тому, что . Таким образом, последовательность не может быть бесконечной, и потому существует такой номер , что . Положим: . Возьмем два любых числа

и из отрезка таких, что . Тогда возможны два случая: или обе эти точки попали на некоторый отрезок и тогда , или этого не случилось, и тогда найдется точка между и . Но в этом случае , так как и (доказывается аналогично) , а потому . Так как все приведенные рассуждения справедливы для любого , то теорема доказана.

Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числу подобрать общее для всех точек число (фигурирующее в определении). Для функций, непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда.

БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функ­ции.

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )

-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается

Пример:

Критерий дифференцируемости:

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство:

1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.

2.Достаточность. Пусть су