Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ _t равна скорости точки в данный момент времени: S'_t=V.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.

Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:

Но V=S'_t. Поэтому α=(S'_t)', т. е. α=S'_t'