Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

<< Пример 23.2

Найти у'", если х²+у²=1.

Решение: Дифференцируем уравнение х²+у²-1=0 по х: 2х+2у· у¢ =0.

Отсюда у'=-х/у. Далее имеем:

(так как х²+у²=1), следовательно,