Гиперболические функции и их производные

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

— гиперболический синус;

— гиперболический косинус («цепная линия»);

— гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число.

На рисунках (132-135) показаны графики гиперболических функций.

Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:

ch²x-sh²x=1;

sh(x ± у) = sh х • ch у ± ch x • sh у;

ch(x ± у) = ch x • ch у ± sh x • sh у;

sh 2x = 2 sh x • ch x; ch 2x = ch² x + sh² x.

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).

Найдем производные гиперболических функций:

Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».